Номер 9, страница 15, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач - номер 9, страница 15.

Условие.

9*. Как изменится ответ задачи 8, если обезьяна будет бросать сразу по два ореха?

Решение.

Решение.

Дано:

Предположим, что в задаче 8 рассматривалась система, состоящая из обезьяны на тележке, которые могут двигаться без трения. Обозначим их общую массу как $M$. Обезьяна имеет $N$ орехов, масса каждого ореха равна $m$. Начальная скорость системы равна нулю. Обезьяна бросает орехи в направлении, противоположном возможному движению, со скоростью $u$ относительно тележки.

В задаче 8 орехи бросались по одному.

В текущей задаче орехи бросаются сразу по два.

Найти:

Как изменится конечная скорость тележки с обезьяной, если бросать орехи по два, а не по одному.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. Пусть тележка движется в положительном направлении оси X, тогда орехи бросаются в отрицательном направлении.

1. Случай 1: Орехи бросаются по одному (условия задачи 8)

Рассмотрим процесс бросания $k$-го ореха ($k$ от 1 до $N$). Пусть $V_{k-1}$ – скорость тележки с оставшимися орехами до $k$-го броска, а $V_k$ – скорость после него. Масса системы до броска: $M_{до} = M + (N-k+1)m$. Её импульс: $P_{до} = (M + (N-k+1)m)V_{k-1}$.

После броска масса системы становится $M_{после} = M + (N-k)m$, а её скорость $V_k$. Брошенный орех массой $m$ имеет скорость $v_{ореха} = V_k - u$ относительно земли. Импульс системы после броска: $P_{после} = (M + (N-k)m)V_k + m(V_k - u)$.

По закону сохранения импульса, $P_{до} = P_{после}$:

$(M + (N-k+1)m)V_{k-1} = (M + (N-k)m)V_k + m(V_k - u)$

$(M + (N-k+1)m)V_{k-1} = (M + (N-k+1)m)V_k - mu$

Отсюда найдем приращение скорости $\Delta V_k = V_k - V_{k-1}$:

$\Delta V_k = \frac{mu}{M + (N-k+1)m}$

Конечная скорость $V_1$ после бросания всех $N$ орехов будет суммой всех приращений, так как начальная скорость $V_0=0$:

$V_1 = \sum_{k=1}^{N} \frac{mu}{M + (N-k+1)m} = mu \left( \frac{1}{M+Nm} + \frac{1}{M+(N-1)m} + \dots + \frac{1}{M+m} \right)$

2. Случай 2: Орехи бросаются по два

Теперь обезьяна совершает $N/2$ бросков (предполагаем $N$ четным), каждый раз бросая порцию массой $2m$. Пусть $k$ – номер броска ($k$ от 1 до $N/2$).

Аналогично первому случаю, приращение скорости для $k$-го броска составит:

$\Delta V'_k = \frac{(2m)u}{M + (N-2(k-1))m}$

Конечная скорость $V_2$ после бросания всех орехов будет:

$V_2 = \sum_{k=1}^{N/2} \frac{2mu}{M + (N-2(k-1))m} = 2mu \left( \frac{1}{M+Nm} + \frac{1}{M+(N-2)m} + \dots + \frac{1}{M+2m} \right)$

3. Сравнение скоростей $V_1$ и $V_2$

Чтобы сравнить $V_1$ и $V_2$, сравним суммы, из которых они состоят. Выражение для $V_1$ можно переписать, сгруппировав слагаемые попарно:

$V_1 / (mu) = \left(\frac{1}{M+Nm} + \frac{1}{M+(N-1)m}\right) + \left(\frac{1}{M+(N-2)m} + \frac{1}{M+(N-3)m}\right) + \dots$

Выражение для $V_2$:

$V_2 / (mu) = \frac{2}{M+Nm} + \frac{2}{M+(N-2)m} + \dots$

Сравним первую пару слагаемых из суммы для $V_1$ с первым слагаемым из суммы для $V_2$:

Сравниваем $A = \frac{1}{M+Nm} + \frac{1}{M+(N-1)m}$ и $B = \frac{2}{M+Nm}$.

Поскольку знаменатель $M+(N-1)m < M+Nm$, то дробь $\frac{1}{M+(N-1)m} > \frac{1}{M+Nm}$.

Следовательно, $A = \frac{1}{M+Nm} + \frac{1}{M+(N-1)m} > \frac{1}{M+Nm} + \frac{1}{M+Nm} = \frac{2}{M+Nm} = B$.

Аналогичное неравенство справедливо для каждой последующей пары слагаемых. Каждая "порция" приращения скорости в первом случае (сумма двух последовательных приращений) оказывается больше, чем соответствующее приращение скорости во втором случае. Таким образом, итоговая сумма для $V_1$ будет больше итоговой суммы для $V_2$.

$V_1 > V_2$

Этот результат иллюстрирует основной принцип реактивного движения: чем меньшими порциями отбрасывается масса, тем большую конечную скорость приобретает тело. Максимальная скорость достигается при непрерывном истечении массы (что описывается формулой Циолковского).

Следовательно, если обезьяна будет бросать сразу по два ореха, её конечная скорость уменьшится по сравнению со случаем, когда она бросает орехи по одному.

Ответ: Конечная скорость тележки с обезьяной уменьшится.