Номер 7, страница 13, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач - номер 7, страница 13.

Условие.

7*. Две лодки массой $M = 540$ кг каждая двигались равномерно по озеру параллельными курсами навстречу друг другу. Когда лодки поравнялись, с одной из них на другую осторожно переложили груз массой $m = 40$ кг. После этого одна лодка остановилась, а вторая продолжила движение со скоростью, модуль которой равен $v = 5$ м/с. Пренебрегая трением лодок о воду, определите модули скоростей лодок до момента перекладывания груза.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Масса каждой лодки, $M = 540$ кг

Масса груза, $m = 40$ кг

Конечная скорость движущейся лодки, $v = 5$ м/с

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Модули скоростей лодок до перекладывания груза, $u_1$ и $u_2$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух лодок и груза. Так как по условию трением лодок о воду можно пренебречь, внешние горизонтальные силы на систему не действуют. Следовательно, для данной системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Направим ось $Ox$ по направлению движения первой лодки. Тогда ее начальная скорость равна $u_1$. Вторая лодка движется навстречу, поэтому ее начальная скорость равна $-u_2$.

Поскольку в условии не дано соотношения между скоростями лодок, а лодки имеют одинаковую массу и движутся навстречу друг другу, логично предположить, что модули их начальных скоростей были равны: $u_1 = u_2 = u$.

Рассмотрим два возможных сценария в зависимости от того, на какой лодке изначально находился груз.

1. Груз изначально находился на первой лодке.

Суммарный начальный импульс системы равен:

$P_{нач} = (M + m)u_1 + M(-u_2) = (M+m)u - Mu = mu$

После того, как груз переложили на вторую лодку, масса первой лодки стала $M$, а второй — $(M+m)$. По условию, одна лодка остановилась, а вторая продолжила движение со скоростью $v$.

а) Если вторая лодка (с грузом) остановилась, а первая продолжила движение со скоростью $v$ в том же направлении, то конечный импульс системы:

$P_{кон} = Mv + (M+m) \cdot 0 = Mv$

Приравнивая начальный и конечный импульсы ($P_{нач} = P_{кон}$):

$mu = Mv$

б) Если первая лодка остановилась, а вторая (с грузом) продолжила движение со скоростью $-v$ (сохранив направление), то конечный импульс:

$P_{кон} = M \cdot 0 + (M+m)(-v) = -(M+m)v$

Тогда $mu = -(M+m)v$. Это равенство невозможно, так как все величины в левой части ($m, u$) положительны, а в правой — отрицательны.

Следовательно, в этом сценарии реализуется только вариант (а).

2. Груз изначально находился на второй лодке.

Суммарный начальный импульс системы:

$P_{нач} = Mu_1 + (M+m)(-u_2) = Mu - (M+m)u = -mu$

После перекладывания груза на первую лодку ее масса стала $(M+m)$, а второй — $M$.

а) Если вторая лодка остановилась, а первая (с грузом) продолжила движение со скоростью $v$, то конечный импульс:

$P_{кон} = (M+m)v + M \cdot 0 = (M+m)v$

Тогда $-mu = (M+m)v$. Это равенство также невозможно.

б) Если первая лодка (с грузом) остановилась, а вторая продолжила движение со скоростью $-v$, то конечный импульс:

$P_{кон} = (M+m) \cdot 0 + M(-v) = -Mv$

Приравнивая импульсы:

$-mu = -Mv \implies mu = Mv$

Следовательно, в этом сценарии реализуется только вариант (б).

Оба реалистичных сценария приводят к одному и тому же уравнению: $mu = Mv$.

Выразим отсюда искомую скорость $u$:

$u = \frac{Mv}{m}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$u = \frac{540 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{40 \text{ кг}} = \frac{2700}{40} \text{ м/с} = 67.5 \text{ м/с}$

Таким образом, модули скоростей обеих лодок до перекладывания груза были одинаковы.

Ответ: модули скоростей обеих лодок до момента перекладывания груза были равны $67.5$ м/с.