Номер 17, страница 8, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 23. Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса - номер 17, страница 8.

Условие.

17. Подвешенный к потолку на лёгкой нити свинцовый шарик массой $m = 100$ г движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости со скоростью, модуль которой равен $v = 8$ м/с. Пренебрегая влиянием воздуха, изобразите на рисунке все силы, действующие на шарик и нить. Считая шарик и нить механической системой, обозначьте внутренние силы красным карандашом, а внешние силы – чёрным. Найдите изменение импульса этой системы за: а) четверть; б) половину; в) один период обращения шарика. Действием каких сил обусловлено изменение импульса указанной механической системы?

Решение.

Решение.

Дано:

$m = 100$ г

$v = 8$ м/с

Перевод в СИ:
$m = 0.1$ кг

Найти:

$\Delta p$ за а) $T/4$; б) $T/2$; в) $T$

Решение:

Сначала изобразим и классифицируем силы, действующие на механическую систему "шарик + нить".

Внешние силы (обозначаются чёрным):
1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, приложенная к центру масс шарика и направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции со стороны потолка $\vec{F_c}$, приложенная к верхнему концу нити.

Внутренние силы (обозначаются красным):
1. Сила натяжения нити $\vec{T}_{сш}$, действующая со стороны нити на шарик.
2. Сила упругости $\vec{T}_{шс}$, действующая со стороны шарика на нить.
Эти силы являются силами взаимодействия внутри системы, они равны по модулю и противоположны по направлению ($\vec{T}_{сш} = -\vec{T}_{шс}$) согласно третьему закону Ньютона.

Изменение импульса системы $\Delta \vec{p}$ определяется как разность между конечным импульсом $\vec{p}_f$ и начальным импульсом $\vec{p}_i$: $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$. Импульс является векторной величиной, равной $\vec{p} = m\vec{v}$.

Поскольку шарик движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, модуль его импульса также постоянен:

$p = mv = 0.1 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с} = 0.8 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Изменение импульса происходит из-за изменения направления вектора скорости.

а) За четверть периода обращения ($t = T/4$) вектор скорости (а следовательно, и импульса) поворачивается на угол $90^\circ$. Если начальный импульс $\vec{p}_i$ направлен по оси X, то конечный импульс $\vec{p}_f$ будет направлен по оси Y. Модули векторов равны: $|\vec{p}_i| = |\vec{p}_f| = p$.
Для нахождения модуля разности двух перпендикулярных векторов используем теорему Пифагора:
$|\Delta \vec{p}| = |\vec{p}_f - \vec{p}_i| = \sqrt{|\vec{p}_f|^2 + |-\vec{p}_i|^2} = \sqrt{p^2 + p^2} = p\sqrt{2}$.
Вычислим значение:
$|\Delta p| = 0.8 \cdot \sqrt{2} \approx 0.8 \cdot 1.414 \approx 1.13 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.
Ответ: $|\Delta p| \approx 1.13 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

б) За половину периода обращения ($t = T/2$) шарик окажется в диаметрально противоположной точке окружности, и его вектор скорости изменит направление на противоположное: $\vec{v}_f = -\vec{v}_i$.
Следовательно, конечный импульс будет равен $\vec{p}_f = m\vec{v}_f = m(-\vec{v}_i) = -\vec{p}_i$.
Изменение импульса:
$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -\vec{p}_i - \vec{p}_i = -2\vec{p}_i$.
Модуль изменения импульса:
$|\Delta p| = |-2\vec{p}_i| = 2|\vec{p}_i| = 2mv$.
Вычислим значение:
$|\Delta p| = 2 \cdot 0.8 = 1.6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.
Ответ: $|\Delta p| = 1.6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

в) За один полный период обращения ($t = T$) шарик возвращается в исходное положение, и его вектор скорости становится таким же, как и в начале: $\vec{v}_f = \vec{v}_i$.
Следовательно, конечный импульс равен начальному: $\vec{p}_f = \vec{p}_i$.
Изменение импульса:
$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = \vec{p}_i - \vec{p}_i = 0$.
Ответ: $\Delta p = 0$.

Изменение импульса указанной механической системы обусловлено действием внешних сил. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса системы равно импульсу равнодействующей всех внешних сил, приложенных к системе: $\Delta \vec{p} = \vec{F}_{внешн.равн} \cdot \Delta t$. Внешними силами являются сила тяжести $\vec{F_g}$ и сила реакции потолка $\vec{F_c}$. Их векторная сумма не равна нулю и создает центростремительную силу, которая направлена к центру окружности и постоянно изменяет направление вектора скорости (и импульса) системы. Именно эта результирующая внешняя сила и является причиной изменения импульса системы.