Номер 6, страница 34, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 4. Механическая работа. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Параграф 28. Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии - номер 6, страница 34.

Условие.

6. Шарик массой 10 г подвешен на лёгкой нерастяжимой нити длиной $L = 20$ см. Нить в натянутом состоянии отклонили от вертикального положения на угол $45^\circ$ и отпустили без толчка. Определите модуль скорости шарика в нижней точке траектории.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано

$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

$L = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$v$ — модуль скорости шарика в нижней точке.

Решение

Для решения задачи используем закон сохранения механической энергии. Так как нить легкая и нерастяжимая, а сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия системы (шарик-Земля) сохраняется.

Полная механическая энергия $E$ равна сумме кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p$

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии положение шарика в нижней точке траектории.

В начальный момент времени (в точке максимального отклонения) шарик покоится ($v_0 = 0$), поэтому его кинетическая энергия равна нулю ($E_{k1} = 0$). Потенциальная энергия в этом положении определяется высотой $h$ над нулевым уровнем.

Найдем начальную высоту $h$. Из геометрии видно, что $h = L - L \cos\alpha = L(1 - \cos\alpha)$.

Тогда полная механическая энергия в начальный момент времени:

$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = mgh + 0 = mgL(1 - \cos\alpha)$

В нижней точке траектории высота шарика над нулевым уровнем равна нулю ($h=0$), поэтому его потенциальная энергия равна нулю ($E_{p2} = 0$). Кинетическая энергия в этой точке максимальна и равна $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$, где $v$ — искомая скорость.

Полная механическая энергия в нижней точке:

$E_2 = E_{p2} + E_{k2} = 0 + \frac{mv^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$mgL(1 - \cos\alpha) = \frac{mv^2}{2}$

Масса шарика $m$ сокращается. Выразим скорость $v$:

$v^2 = 2gL(1 - \cos\alpha)$

$v = \sqrt{2gL(1 - \cos\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot (1 - \cos 45^\circ)} = \sqrt{4 \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx \sqrt{4 \cdot (1 - 0.707)} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{4 \cdot 0.293} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{1.172} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.08 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v \approx 1.08$ м/с.