Номер 8, страница 34, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 4. Механическая работа. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии. Параграф 28. Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии - номер 8, страница 34.

Условие.

8. Камень массой 100 г бросили с поверхности Земли под углом 30° к вертикали. Модуль начальной скорости камня равен 14 м/с. На какую максимальную высоту над Землёй поднимется камень? Решите данную задачу двумя способами: используя законы движения и закон сохранения механической энергии.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$v_0 = 14 \text{ м/с}$

$\beta = 30^\circ \text{ (угол к вертикали)}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$H_{max} - ?$

Решение:

1. Используя законы движения (кинематический способ)

Движение камня можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, ось OX – горизонтально. Начало координат – в точке броска.

Начальная скорость $v_0$ направлена под углом $\beta = 30^\circ$ к вертикали (оси OY). Найдем проекции начальной скорости на оси:

Проекция на горизонтальную ось OX: $v_{0x} = v_0 \sin(\beta)$

Проекция на вертикальную ось OY: $v_{0y} = v_0 \cos(\beta)$

Максимальная высота подъема $H_{max}$ достигается в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости камня становится равной нулю ($v_y = 0$).

Запишем уравнение для вертикальной составляющей скорости в любой момент времени $t$:

$v_y(t) = v_{0y} - gt$

В верхней точке траектории $v_y = 0$, отсюда найдем время подъема $t_{под}$:

$0 = v_{0y} - gt_{под} \implies t_{под} = \frac{v_{0y}}{g}$

Теперь запишем уравнение для координаты y (высоты) в любой момент времени $t$:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Подставив время подъема $t_{под}$ в это уравнение, найдем максимальную высоту $H_{max}$:

$H_{max} = y(t_{под}) = v_{0y} \left(\frac{v_{0y}}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_{0y}}{g}\right)^2 = \frac{v_{0y}^2}{g} - \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{v_{0y}^2}{2g}$

Подставим выражение для $v_{0y}$:

$H_{max} = \frac{(v_0 \cos(\beta))^2}{2g}$

Выполним вычисления:

$H_{max} = \frac{(14 \cdot \cos(30^\circ))^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{(14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2}{19.6} = \frac{(7\sqrt{3})^2}{19.6} = \frac{49 \cdot 3}{19.6} = \frac{147}{19.6} = 7.5 \text{ м}$

Ответ: максимальная высота, на которую поднимется камень, равна 7.5 м.

2. Используя закон сохранения механической энергии

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, полная механическая энергия камня в процессе полета сохраняется. Полная механическая энергия $E$ равна сумме кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Рассмотрим два состояния системы:

Состояние 1: в момент броска с поверхности Земли.
Примем высоту поверхности Земли за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда $h_1 = 0$ и $E_{p1} = 0$.
Скорость камня равна $v_1 = v_0 = 14 \text{ м/с}$.
Полная энергия в начальный момент: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$.

Состояние 2: в точке максимального подъема.
Высота камня $h_2 = H_{max}$. Потенциальная энергия: $E_{p2} = mgH_{max}$.
В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, но горизонтальная составляющая $v_x$ остается неизменной на протяжении всего полета и равна $v_{0x} = v_0 \sin(\beta)$.
Таким образом, скорость камня в этой точке $v_2 = v_{0x} = v_0 \sin(\beta)$.
Кинетическая энергия: $E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m(v_0 \sin(\beta))^2}{2}$.
Полная энергия в точке максимального подъема: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{m(v_0 \sin(\beta))^2}{2} + mgH_{max}$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{m(v_0 \sin(\beta))^2}{2} + mgH_{max}$

Сократим массу $m$:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{(v_0 \sin(\beta))^2}{2} + gH_{max}$

Выразим $gH_{max}$:

$gH_{max} = \frac{v_0^2}{2} - \frac{v_0^2 \sin^2(\beta)}{2} = \frac{v_0^2(1 - \sin^2(\beta))}{2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$, получаем $1 - \sin^2(\beta) = \cos^2(\beta)$.

$gH_{max} = \frac{v_0^2 \cos^2(\beta)}{2}$

Отсюда находим $H_{max}$:

$H_{max} = \frac{v_0^2 \cos^2(\beta)}{2g}$

Эта формула полностью совпадает с полученной в первом способе.

Выполним вычисления:

$H_{max} = \frac{14^2 \cdot (\cos(30^\circ))^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{196 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{19.6} = \frac{196 \cdot \frac{3}{4}}{19.6} = \frac{147}{19.6} = 7.5 \text{ м}$

Ответ: максимальная высота, на которую поднимется камень, равна 7.5 м.