Номер 11, страница 45, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 11, страница 45.

Условие.

11. По наклонной доске, образующей с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$, рабочий равномерно двигает вверх ящик. Прикладываемая им сила направлена параллельно доске. Коэффициент трения ящика о доску равен $\mu = 0,1$. Определите, во сколько раз прикладываемая рабочим сила меньше силы тяжести, действующей на ящик. Рассчитайте КПД этого простого механизма.

Решение.

Решение.

Дано:

Угол наклона доски: $\alpha = 30^{\circ}$

Коэффициент трения: $\mu = 0,1$

Движение: равномерное ($v = \text{const}$, $a = 0$)

Найти:

1. Отношение силы тяжести к прикладываемой силе: $\frac{F_{тяж}}{F_{пр}}$

2. КПД механизма: $\eta$

Решение:

На ящик, движущийся равномерно вверх по наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести ($\vec{F}_{тяж}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), прикладываемая сила ($\vec{F}_{пр}$) и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$).

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

Поскольку движение равномерное, ускорение ящика равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю:

$\vec{F}_{пр} + \vec{F}_{тяж} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$

Спроецируем это уравнение на оси координат. Сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Ее проекции: на ось $Ox$ равна $-mg \sin(\alpha)$, на ось $Oy$ равна $-mg \cos(\alpha)$.

В проекции на ось $Oy$:

$N - mg \cos(\alpha) = 0 \implies N = mg \cos(\alpha)$

В проекции на ось $Ox$:

$F_{пр} - mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $N$, получаем:

$F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим силу трения в уравнение для оси $Ox$ и выразим прикладываемую силу $F_{пр}$:

$F_{пр} = mg \sin(\alpha) + F_{тр} = mg \sin(\alpha) + \mu mg \cos(\alpha) = mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

1. Определение, во сколько раз прикладываемая сила меньше силы тяжести

Для ответа на этот вопрос необходимо найти отношение силы тяжести $F_{тяж}$ к прикладываемой силе $F_{пр}$.

$\frac{F_{тяж}}{F_{пр}} = \frac{mg}{mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))} = \frac{1}{\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения $\alpha = 30^{\circ}$ и $\mu = 0,1$:

$\sin(30^{\circ}) = 0,5$

$\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\frac{F_{тяж}}{F_{пр}} = \frac{1}{0,5 + 0,1 \cdot 0,866} = \frac{1}{0,5 + 0,0866} = \frac{1}{0,5866} \approx 1,705$

Ответ: Прикладываемая рабочим сила меньше силы тяжести примерно в 1,7 раза.

2. Расчет КПД этого простого механизма

Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости как механизма определяется отношением полезной работы ($A_{полезная}$) к затраченной работе ($A_{затраченная}$): $\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}}$.

Пусть ящик перемещается на расстояние $L$ вдоль наклонной плоскости.

Полезная работа — это работа по подъему ящика на высоту $h = L \sin(\alpha)$ без учета трения. Она равна изменению потенциальной энергии: $A_{полезная} = mgh = mgL \sin(\alpha)$.

Затраченная работа — это работа, совершаемая прикладываемой силой $F_{пр}$ для перемещения ящика на расстояние $L$: $A_{затраченная} = F_{пр} \cdot L$.

Используя найденное ранее выражение для $F_{пр}$, получаем:

$A_{затраченная} = mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) \cdot L$

Теперь можно рассчитать КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} = \frac{mgL \sin(\alpha)}{mgL(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)}$

Подставляя числовые значения, получаем:

$\eta = \frac{0,5}{0,5 + 0,1 \cdot 0,866} = \frac{0,5}{0,5866} \approx 0,852$

Для выражения КПД в процентах, умножим результат на 100%:

$\eta \approx 0,852 \cdot 100\% = 85,2\%$

Ответ: КПД этого простого механизма составляет примерно 85,2%.