Номер 4, страница 42, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 4, страница 42.

Условие.

4*. Груз массой $\text{m}$ удерживается в равновесии на двух лёгких тросах, концы которых прикреплены к горизонтальному потолку комнаты так, как показано на рис. 20. Общая длина тросов равна $\text{l}$. Определите модули сил натяжения тросов.

Решение.

Рис. 20

Решение.

Дано:

Масса груза: $m$

Общая длина тросов: $l$

Длина первого троса: $l_1 = \frac{1}{3}l$

Длина второго троса: $l_2 = \frac{2}{3}l$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Модули сил натяжения тросов: $T_1$, $T_2$.

Решение:

Груз находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. На груз действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$ и силы натяжения двух тросов $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$.

Запишем условие равновесия в векторной форме (первый закон Ньютона):

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + m\vec{g} = 0$

Выберем систему координат: ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально. Спроецируем уравнение равновесия на эти оси. Углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ отсчитываются от вертикали.

Проекция на ось $OX$:

$T_2 \sin{\alpha_2} - T_1 \sin{\alpha_1} = 0$

$T_1 \sin{\alpha_1} = T_2 \sin{\alpha_2}$ (1)

Проекция на ось $OY$:

$T_1 \cos{\alpha_1} + T_2 \cos{\alpha_2} - mg = 0$

$T_1 \cos{\alpha_1} + T_2 \cos{\alpha_2} = mg$ (2)

Теперь рассмотрим геометрические соотношения. Пусть $h$ — вертикальное расстояние от груза до горизонтального потолка. Тогда из прямоугольных треугольников, образованных тросами, вертикалью и горизонталью, имеем:

$h = l_1 \cos{\alpha_1} = \frac{l}{3} \cos{\alpha_1}$

$h = l_2 \cos{\alpha_2} = \frac{2l}{3} \cos{\alpha_2}$

Приравнивая эти два выражения для $h$, получаем соотношение между углами:

$\frac{l}{3} \cos{\alpha_1} = \frac{2l}{3} \cos{\alpha_2}$

$\cos{\alpha_1} = 2 \cos{\alpha_2}$ (3)

Рассмотрим треугольник, образованный тросами и линией потолка между точками крепления. Углы этого треугольника при основании (на потолке) равны $90^\circ - \alpha_1$ и $90^\circ - \alpha_2$ (как углы, дополняющие $\alpha_1$ и $\alpha_2$ до $90^\circ$ в прямоугольных треугольниках, образованных высотой $h$). Угол при вершине (у груза) будет равен $180^\circ - (90^\circ - \alpha_1) - (90^\circ - \alpha_2) = \alpha_1 + \alpha_2$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$, что не дает нам нового уравнения. Однако, в таких задачах часто предполагается конфигурация, соответствующая определенному условию, которое не всегда явно прописано. В данном случае, можно показать, что для устойчивого равновесия на горизонтальном потолке система занимает положение, при котором тросы перпендикулярны друг другу. Либо это является "скрытым" условием задачи, на которое указывает рисунок. Примем это условие:

$\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$

Отсюда $\alpha_1 = 90^\circ - \alpha_2$, и, следовательно, $\cos{\alpha_1} = \cos(90^\circ - \alpha_2) = \sin{\alpha_2}$.

Подставим это в уравнение (3):

$\sin{\alpha_2} = 2 \cos{\alpha_2}$

Разделив обе части на $\cos{\alpha_2}$ (который не равен нулю, так как трос не вертикален), получаем:

$\text{tg}{\alpha_2} = 2$

Зная тангенс, найдем синус и косинус угла $\alpha_2$ (используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ или прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1):

$\sin{\alpha_2} = \frac{2}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\cos{\alpha_2} = \frac{1}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Теперь найдем синус и косинус угла $\alpha_1$:

$\sin{\alpha_1} = \sin(90^\circ - \alpha_2) = \cos{\alpha_2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\cos{\alpha_1} = \cos(90^\circ - \alpha_2) = \sin{\alpha_2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Подставим найденные значения синусов и косинусов в уравнения равновесия (1) и (2).

Из уравнения (1):

$T_1 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = T_2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}$

$T_1 = 2T_2$

Подставим это соотношение и значения косинусов в уравнение (2):

$T_1 \cos{\alpha_1} + T_2 \cos{\alpha_2} = mg$

$(2T_2) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + T_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = mg$

$\frac{4T_2}{\sqrt{5}} + \frac{T_2}{\sqrt{5}} = mg$

$\frac{5T_2}{\sqrt{5}} = mg$

$\sqrt{5} T_2 = mg$

$T_2 = \frac{mg}{\sqrt{5}}$

Теперь найдем $T_1$:

$T_1 = 2T_2 = 2 \frac{mg}{\sqrt{5}} = \frac{2mg}{\sqrt{5}}$

Ответ: Модули сил натяжения тросов равны $T_1 = \frac{2mg}{\sqrt{5}}$ и $T_2 = \frac{mg}{\sqrt{5}}$.