Номер 8, страница 44, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 8, страница 44.

Условие.

8. Рабочий массой $M = 80 \text{ кг}$ поднялся на две трети длины по легкой лестнице, которая стоит на горизонтальном полу и опирается верхним концом на гладкую вертикальную стену. Лестница образует с полом угол $\alpha = 60^\circ$. Определите модули сил, действующих на стену и пол со стороны лестницы.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Масса рабочего, $M = 80$ кг

Угол наклона лестницы, $\alpha = 60^\circ$

Расстояние, на которое поднялся рабочий, $l = \frac{2}{3}L$, где $L$ - длина лестницы

Лестница лёгкая, её массой можно пренебречь

Стена гладкая, трение о стену отсутствует

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$F_{стены}$ — модуль силы, действующей на стену со стороны лестницы

$F_{пола}$ — модуль силы, действующей на пол со стороны лестницы

Решение:

Поскольку лестница находится в равновесии, то должны выполняться два условия:

1. Сумма всех сил, действующих на лестницу, равна нулю (условие равновесия поступательного движения): $\sum \vec{F} = 0$.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (условие равновесия вращательного движения): $\sum \vec{M} = 0$.

На лестницу действуют следующие силы: сила тяжести рабочего $ \vec{P} = M\vec{g} $; сила реакции гладкой стены $ \vec{N_1} $ (направлена перпендикулярно стене, то есть горизонтально); сила реакции пола $ \vec{R} $, которую можно разложить на две составляющие: вертикальную силу нормальной реакции $ \vec{N_2} $ и горизонтальную силу трения покоя $ \vec{F_{тр}} $. Весом лестницы пренебрегаем.

Запишем первое условие равновесия в проекциях на оси координат. Ось OX направим горизонтально вдоль пола, ось OY — вертикально вдоль стены.

Проекция на ось OX: $F_{тр} - N_1 = 0 \implies F_{тр} = N_1$

Проекция на ось OY: $N_2 - Mg = 0 \implies N_2 = Mg$

Запишем второе условие равновесия (уравнение моментов) относительно точки касания лестницы с полом (точка O). Это удобно, так как моменты сил $\vec{N_2}$ и $\vec{F_{тр}}$ относительно этой точки равны нулю.

Момент силы тяжести рабочего $M_P$ вращает лестницу по часовой стрелке. Плечо этой силы равно $d_P = \frac{2}{3}L \cos\alpha$. Момент силы: $M_P = Mg \cdot \frac{2}{3}L \cos\alpha$.

Момент силы реакции стены $M_{N_1}$ вращает лестницу против часовой стрелки. Плечо этой силы равно $d_{N_1} = L \sin\alpha$. Момент силы: $M_{N_1} = N_1 \cdot L \sin\alpha$.

По правилу моментов: $N_1 L \sin\alpha = Mg \frac{2}{3}L \cos\alpha$.

Модуль силы, действующей на стену

Из уравнения моментов найдём силу реакции стены $N_1$. Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой лестница действует на стену, $F_{стены}$, равна по модулю силе реакции стены $N_1$.

$N_1 L \sin\alpha = \frac{2}{3} Mg L \cos\alpha$

Сокращаем $L$ и выражаем $N_1$:

$N_1 = \frac{2}{3} Mg \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2}{3} Mg \cot\alpha$

Подставим числовые значения:

$F_{стены} = N_1 = \frac{2}{3} \cdot 80 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \cot 60^\circ = \frac{1568}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 301.8 \text{ Н}$

Округляя до трёх значащих цифр, получаем 302 Н.

Ответ: модуль силы, действующей на стену, равен 302 Н.

Модуль силы, действующей на пол

Сила, действующая на пол со стороны лестницы, $F_{пола}$, по третьему закону Ньютона равна по модулю полной силе реакции опоры $R$. Эта сила является векторной суммой нормальной реакции $N_2$ и силы трения $F_{тр}$. Её модуль находится по теореме Пифагора:

$F_{пола} = R = \sqrt{N_2^2 + F_{тр}^2}$

Из условий равновесия мы ранее нашли компоненты:

$N_2 = Mg = 80 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 784 \text{ Н}$

$F_{тр} = N_1 \approx 301.8 \text{ Н}$

Вычислим модуль полной силы:

$F_{пола} = \sqrt{(784 \text{ Н})^2 + (301.8 \text{ Н})^2} = \sqrt{614656 + 91083.24} = \sqrt{705739.24} \approx 840.1 \text{ Н}$

Округляя до трёх значащих цифр, получаем 840 Н.

Ответ: модуль силы, действующей на пол, равен 840 Н.