Номер 13, страница 46, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 13, страница 46.

Условие.

13*. Тонкостенный обруч радиусом $\text{R}$ с закреплённым на нём небольшим по размерам грузом массой $m = 50 \text{ г}$ установлен на шероховатой плоскости, которая образует с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$ (рис. 24). Груз находится на одной горизонтали с центром обруча. Определите массу $\text{M}$ обруча без груза и коэффициент трения обруча о наклонную плоскость, при которых обруч с грузом будет оставаться неподвижным.

Рис. 24

Решение.

Дано:

$m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

$\alpha = 30^\circ$

Найти:

$M - ?$

$\mu - ?$

Решение:

Для того чтобы обруч с грузом оставался неподвижным, должны выполняться два условия равновесия: сумма всех сил, действующих на систему, равна нулю (поступательное равновесие), и сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю (вращательное равновесие).

На систему (обруч + груз) действуют: сила тяжести обруча $M\vec{g}$, сила тяжести груза $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$.

Выберем систему координат с осью $Ox$, направленной вдоль наклонной плоскости вниз, и осью $Oy$, перпендикулярной ей вверх.

1. Условие равновесия сил. Запишем уравнения в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Oy$: $N - Mg \cos\alpha - mg \cos\alpha = 0$. Отсюда выразим силу нормальной реакции:

$N = (M + m)g \cos\alpha$ (1)

Проекция на ось $Ox$: $Mg \sin\alpha + mg \sin\alpha - F_{тр} = 0$. Отсюда выразим силу трения:

$F_{тр} = (M + m)g \sin\alpha$ (2)

2. Условие равновесия моментов. Выберем в качестве оси вращения центр обруча (точку О). Моменты сил $M\vec{g}$ и $\vec{N}$ равны нулю, так как их линии действия проходят через эту точку.

Сила тяжести груза $m\vec{g}$ создает вращающий момент $\mathcal{M}_m$. Поскольку груз находится на одной горизонтали с центром обруча, плечо этой вертикальной силы равно радиусу $R$. Момент равен $\mathcal{M}_m = mgR$ и направлен против часовой стрелки.

Сила трения $F_{тр}$ приложена к точке касания обруча и создает вращающий момент $\mathcal{M}_{тр}$. Плечо этой силы равно $R$. Момент равен $\mathcal{M}_{тр} = F_{тр}R$ и направлен по часовой стрелке.

Условие равновесия моментов: $\sum \mathcal{M}_O = mgR - F_{тр}R = 0$.

Из этого уравнения следует, что:

$F_{тр} = mg$ (3)

Теперь приравняем выражения для силы трения из уравнений (2) и (3):

$(M + m)g \sin\alpha = mg$

Сократим на $g$:

$M \sin\alpha + m \sin\alpha = m$

$M \sin\alpha = m(1 - \sin\alpha)$

$M = m \frac{1 - \sin\alpha}{\sin\alpha}$

Подставим числовые значения для нахождения массы обруча $M$:

$M = 50 \text{ г} \cdot \frac{1 - \sin30^\circ}{\sin30^\circ} = 50 \cdot \frac{1 - 0.5}{0.5} = 50 \cdot \frac{0.5}{0.5} = 50 \text{ г}$

Далее найдем коэффициент трения. Условие отсутствия проскальзывания имеет вид: $F_{тр} \le \mu N$.

Чтобы обруч оставался в равновесии, коэффициент трения должен быть не меньше минимально необходимого значения, которое находится из условия $\mu = \frac{F_{тр}}{N}$.

Подставим выражения для $F_{тр}$ из (3) и для $N$ из (1):

$\mu = \frac{mg}{(M+m)g \cos\alpha} = \frac{m}{(M+m)\cos\alpha}$

Из равенства $(M + m) \sin\alpha = m$ выразим сумму масс: $M+m = \frac{m}{\sin\alpha}$.

Подставим это выражение в формулу для $\mu$:

$\mu = \frac{m}{(\frac{m}{\sin\alpha})\cos\alpha} = \frac{m \sin\alpha}{m \cos\alpha} = \tan\alpha$

Подставим числовое значение угла:

$\mu = \tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

Это минимально необходимый коэффициент трения. Таким образом, для равновесия системы коэффициент трения должен удовлетворять условию $\mu \ge \tan\alpha$.

Ответ: Масса обруча $M = 50 \text{ г}$; коэффициент трения должен удовлетворять условию $\mu \ge \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$.