Номер 6, страница 43, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 6, страница 43.

Условие.

6*. К потолку лифта, движущегося с ускорением $\vec{a}$, направленным вертикально вверх, подвешен груз массой $\text{m}$ на двух лёгких нитях, образующих углы $\alpha$ и $\beta$ с вертикалью. Определите модули сил натяжения нитей.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m$
Ускорение лифта (вертикально вверх): $a$
Угол первой нити с вертикалью: $\alpha$
Угол второй нити с вертикалью: $\beta$

Найти:

Модули сил натяжения нитей: $T_1$, $T_2$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на груз в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На груз действуют: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения нитей $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль нитей.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + m\vec{g} = m\vec{a}$

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально. Спроецируем уравнение на эти оси. Пусть нить с силой натяжения $T_1$ образует угол $\alpha$ с вертикалью, а нить с силой натяжения $T_2$ – угол $\beta$.

Проекция на ось OX:

$T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = 0$

Отсюда получаем соотношение между силами натяжения:

$T_1 \sin \alpha = T_2 \sin \beta$ (1)

Проекция на ось OY (учитывая, что ускорение $\vec{a}$ направлено вверх, вдоль оси OY):

$T_1 \cos \alpha + T_2 \cos \beta - mg = ma$

$T_1 \cos \alpha + T_2 \cos \beta = m(g + a)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $T_1$ и $T_2$. Выразим $T_2$ из уравнения (1):

$T_2 = T_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$T_1 \cos \alpha + \left(T_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\right) \cos \beta = m(g + a)$

Вынесем $T_1$ за скобки:

$T_1 \left( \cos \alpha + \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \beta} \right) = m(g + a)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$T_1 \left( \frac{\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta}{\sin \beta} \right) = m(g + a)$

Используя тригонометрическую формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, упростим числитель:

$T_1 \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta} = m(g + a)$

Отсюда находим $T_1$:

$T_1 = \frac{m(g + a)\sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь найдем $T_2$, подставив полученное значение $T_1$ в выражение $T_2 = T_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$:

$T_2 = \frac{m(g + a)\sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{m(g + a)\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $T_1 = \frac{m(g+a) \sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$, $T_2 = \frac{m(g+a) \sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$.