Номер 7, страница 43, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 7, страница 43.

Условие.

7. К гладкой вертикальной стене прислонена лестница длиной $\text{L}$, центр масс которой находится на расстоянии $L/4$ от её нижнего конца, а угол наклона к горизонту равен $\alpha$. Определите, каким должен быть коэффициент трения лестницы о горизонтальный пол, чтобы лестница оставалась неподвижной.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Длина лестницы: $L$

Расстояние от нижнего конца до центра масс: $d = L/4$

Угол наклона лестницы к горизонту: $\alpha$

Стена: гладкая (коэффициент трения о стену равен нулю)

Найти:

Коэффициент трения лестницы о пол $\mu$, при котором лестница будет оставаться неподвижной.

Решение:

Для того чтобы лестница находилась в состоянии равновесия, необходимо выполнение двух условий: сумма всех действующих на нее сил должна быть равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой оси также должна быть равна нулю.

Рассмотрим силы, действующие на лестницу:

1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс лестницы и направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры со стороны пола $N_1$, направленная вертикально вверх.
3. Сила трения покоя со стороны пола $F_{тр}$, направленная горизонтально к стене, препятствующая скольжению.
4. Сила реакции опоры со стороны гладкой стены $N_2$, направленная горизонтально от стены.

Запишем первое условие равновесия (сумма сил равна нулю) в проекциях на горизонтальную ось OX и вертикальную ось OY:

Проекция на ось OX: $N_2 - F_{тр} = 0 \implies N_2 = F_{тр}$

Проекция на ось OY: $N_1 - mg = 0 \implies N_1 = mg$

Теперь запишем второе условие равновесия (сумма моментов сил равна нулю). Удобнее всего выбрать точку опоры лестницы о пол в качестве точки, относительно которой мы будем рассчитывать моменты сил. В этом случае моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ будут равны нулю, так как их плечи равны нулю.

Момент силы тяжести $M_{mg}$ стремится повернуть лестницу по часовой стрелке. Плечо этой силы равно горизонтальному расстоянию от точки опоры до линии действия силы тяжести, то есть $l_1 = \frac{L}{4} \cos\alpha$.

$M_{mg} = mg \cdot l_1 = mg \frac{L}{4} \cos\alpha$

Момент силы реакции стены $M_{N_2}$ стремится повернуть лестницу против часовой стрелки. Плечо этой силы равно высоте верхнего конца лестницы, то есть $l_2 = L \sin\alpha$.

$M_{N_2} = N_2 \cdot l_2 = N_2 L \sin\alpha$

По условию равновесия моментов, алгебраическая сумма моментов сил равна нулю (считая моменты против часовой стрелки положительными):

$M_{N_2} - M_{mg} = 0$

$N_2 L \sin\alpha - mg \frac{L}{4} \cos\alpha = 0$

Выразим $N_2$ из этого уравнения:

$N_2 L \sin\alpha = mg \frac{L}{4} \cos\alpha$

$N_2 = \frac{mg}{4} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{mg}{4} \cot\alpha$

Лестница будет оставаться в покое, если сила трения $F_{тр}$ не превышает максимальную силу трения покоя $F_{тр.макс} = \mu N_1$.

$F_{тр} \le \mu N_1$

Используя ранее полученные соотношения $F_{тр} = N_2$ и $N_1 = mg$, подставим их в неравенство:

$N_2 \le \mu mg$

Теперь подставим выражение для $N_2$:

$\frac{mg}{4} \cot\alpha \le \mu mg$

Сокращая $mg$ (так как $mg > 0$), получаем условие для коэффициента трения:

$\mu \ge \frac{1}{4} \cot\alpha$

Это условие, которому должен удовлетворять коэффициент трения между лестницей и полом, чтобы лестница оставалась неподвижной.

Ответ: Коэффициент трения должен удовлетворять условию $\mu \ge \frac{1}{4} \cot\alpha$.