Номер 14, страница 47, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 5. Статика. Параграф 30. Применение условий равновесия при решении задач статики - номер 14, страница 47.

Условие.

14*. Согнутый в середине под углом $90^\circ$ тяжёлый тонкий однородный стержень подвешен на нити к потолку за верхний конец. Определите угол между верхней половиной стержня и вертикалью.

Решение.

Решение.

Дано:

Стержень тяжелый, тонкий, однородный.

Угол изгиба в середине, $ \gamma = 90^\circ $.

Стержень подвешен за верхний конец.

Найти:

Угол $ \alpha $ между верхней половиной стержня и вертикалью.

Решение:

Для того чтобы тело, подвешенное за одну точку, находилось в состоянии устойчивого равновесия, его центр масс должен располагаться на одной вертикали с точкой подвеса и находиться ниже неё. Таким образом, задача сводится к нахождению центра масс согнутого стержня.

Пусть общая длина стержня равна $2L$, а его масса $M$. Поскольку стержень однороден и согнут посередине, каждая его половина имеет длину $L$ и массу $m = M/2$.

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы место сгиба находилось в начале координат O(0, 0). Направим ось OY вдоль верхней половины стержня, а ось OX – вдоль нижней. В этой системе координат точка подвеса P (верхний конец стержня) будет иметь координаты (0, L).

Центр масс верхней половины стержня, представляющей собой отрезок на оси OY, находится в его середине, в точке $C_1$ с координатами:

$C_1 = (0, L/2)$

Центр масс нижней половины стержня, представляющей собой отрезок на оси OX, находится в его середине, в точке $C_2$ с координатами:

$C_2 = (L/2, 0)$

Координаты $(X_C, Y_C)$ общего центра масс $C$ для системы, состоящей из двух этих частей с равными массами $m$, вычисляются по формулам:

$X_C = \frac{m \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + m} = \frac{0 + L/2}{2} = \frac{L}{4}$

$Y_C = \frac{m \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m + m} = \frac{L/2 + 0}{2} = \frac{L}{4}$

Итак, общий центр масс стержня находится в точке $C$ с координатами $(L/4, L/4)$.

В положении равновесия точка подвеса P(0, L) и центр масс C(L/4, L/4) лежат на одной вертикальной прямой. Искомый угол $ \alpha $ — это угол между верхней половиной стержня (которая в нашей системе координат совпадает с осью OY) и вертикалью (прямой, проходящей через точки P и C).

Для нахождения этого угла рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой подвеса P, центром масс C и проекцией точки C на ось OY. Обозначим эту проекцию как Q. Точка Q будет иметь координаты (0, L/4). Катеты этого треугольника равны:

Длина катета $QC$, противолежащего углу $ \alpha $, равна разности абсцисс точек C и Q: $QC = X_C - X_Q = L/4 - 0 = L/4$.

Длина катета $PQ$, прилежащего к углу $ \alpha $, равна разности ординат точек P и Q: $PQ = Y_P - Y_Q = L - L/4 = 3L/4$.

Тангенс искомого угла $ \alpha $ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{QC}{PQ} = \frac{L/4}{3L/4} = \frac{1}{3}$

Следовательно, искомый угол равен арктангенсу этого значения.

$\alpha = \arctan(\frac{1}{3})$

Ответ: $\alpha = \arctan(\frac{1}{3})$.