Упражнение, страница 47 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 1. Кинематика. Параграф 8. Криволинейное движение - страница 47.

Условие.

Пусть заяц (см. задачу в параграфе) начинает бежать равноускоренно прямолинейно относительно льдины в направлении противоположного берега. Модуль его ускорения равен $2 \text{ м/с}^2$. При этом льдина движется относительно берегов реки поступательно с постоянной скоростью, модуль которой равен $4 \text{ м/с}$. Система отсчёта связана с берегом. За начало отсчёта выбрано то место берега, где заяц соскочил на льдину. Ось $\text{X}$ системы отсчёта направлена вдоль берега в направлении движения льдины, ось $\text{Y}$ перпендикулярна ей и направлена к противоположному берегу. Часы включены в момент соскока зайца на льдину.

Выполните задания:

a) напишите законы движения зайца по координатным осям;

б) напишите зависимости проекций скорости зайца на координатные оси от времени;

в) определите координаты и проекции скорости зайца в моменты времени: $0; 1; 2; 3; 4 \text{ с}$ и составьте соответствующую таблицу;

г) нанесите на координатную сетку точки, в которых находился заяц в моменты времени: $0; 1; 2; 3; 4 \text{ с}$;

д) получите уравнение траектории зайца и установите вид траектории. Изобразите её на координатной сетке;

*e) используя результаты, полученные в пункте «в», изобразите на координатной сетке проекции и векторы скоростей зайца в моменты времени: $0; 1; 2; 3; 4 \text{ с}$ в соответствующем масштабе.

Решение.

Дано:

Ускорение зайца относительно льдины: $a_{отн} = 2$ м/с²

Скорость льдины относительно берега: $v_{льд} = 4$ м/с

Начальные координаты зайца: $x_0 = 0, y_0 = 0$

Начальная скорость зайца относительно льдины: $v_{0,отн} = 0$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

а) Законы движения $x(t)$ и $y(t)$.

б) Зависимости проекций скорости $v_x(t)$ и $v_y(t)$.

в) Координаты и проекции скорости в моменты времени $t \in \{0; 1; 2; 3; 4\}$ с.

г) Положение зайца в указанные моменты времени на координатной сетке.

д) Уравнение и вид траектории $y(x)$.

е) Векторы скоростей в указанные моменты времени на координатной сетке.

Решение:

Движение зайца является сложным. Оно складывается из двух движений: движения льдины относительно берега (переносное движение) и движения зайца относительно льдины (относительное движение). Система отсчета связана с берегом.

Ось X направлена вдоль берега в направлении движения льдины, ось Y — перпендикулярно берегу.

Движение льдины: равномерное, со скоростью $v_{льд} = 4$ м/с вдоль оси X. Её ускорение $a_{льд} = 0$.

Движение зайца относительно льдины: равноускоренное, с начальной скоростью $v_{0,отн} = 0$ и ускорением $a_{отн} = 2$ м/с², направленным к противоположному берегу (вдоль оси Y).

Скорость и ускорение зайца в системе отсчета, связанной с берегом, находятся по закону сложения скоростей и ускорений:

$\vec{v} = \vec{v}_{льд} + \vec{v}_{отн}$

$\vec{a} = \vec{a}_{льд} + \vec{a}_{отн}$

В проекциях на оси координат:

Начальная скорость зайца ($t=0$):

$v_{0x} = v_{льд} + v_{0,отн,x} = 4 + 0 = 4$ м/с

$v_{0y} = 0 + v_{0,отн,y} = 0 + 0 = 0$ м/с

Ускорение зайца:

$a_x = a_{льд,x} + a_{отн,x} = 0 + 0 = 0$ м/с² (вдоль оси X движение равномерное)

$a_y = a_{льд,y} + a_{отн,y} = 0 + 2 = 2$ м/с² (вдоль оси Y движение равноускоренное)

Общие уравнения движения при постоянном ускорении:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Общие уравнения для проекций скорости:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$

а) напишите законы движения зайца по координатным осям;

Подставляем начальные условия и проекции ускорения в общие уравнения движения:

$x(t) = 0 + 4 \cdot t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = 4t$

$y(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{2 \cdot t^2}{2} = t^2$

Ответ: Законы движения зайца: $x(t) = 4t$ (м), $y(t) = t^2$ (м).

б) напишите зависимости проекций скорости зайца на координатные оси от времени;

Подставляем начальные скорости и проекции ускорения в общие уравнения для скорости:

$v_x(t) = 4 + 0 \cdot t = 4$

$v_y(t) = 0 + 2 \cdot t = 2t$

Ответ: Зависимости проекций скорости: $v_x(t) = 4$ м/с, $v_y(t) = 2t$ м/с.

в) определите координаты и проекции скорости зайца в моменты времени: 0; 1; 2; 3; 4 с и составьте соответствующую таблицу;

Рассчитаем значения, используя полученные в пунктах а) и б) уравнения:

• При $t=0$ с: $x=4 \cdot 0 = 0$ м, $y=0^2=0$ м, $v_x=4$ м/с, $v_y=2 \cdot 0 = 0$ м/с.
• При $t=1$ с: $x=4 \cdot 1 = 4$ м, $y=1^2=1$ м, $v_x=4$ м/с, $v_y=2 \cdot 1 = 2$ м/с.
• При $t=2$ с: $x=4 \cdot 2 = 8$ м, $y=2^2=4$ м, $v_x=4$ м/с, $v_y=2 \cdot 2 = 4$ м/с.
• При $t=3$ с: $x=4 \cdot 3 = 12$ м, $y=3^2=9$ м, $v_x=4$ м/с, $v_y=2 \cdot 3 = 6$ м/с.
• При $t=4$ с: $x=4 \cdot 4 = 16$ м, $y=4^2=16$ м, $v_x=4$ м/с, $v_y=2 \cdot 4 = 8$ м/с.

Составим таблицу:

$\text{t}$, с	$\text{x}$, м	$\text{y}$, м	$v_x$, м/с	$v_y$, м/с
0	0	0	4	0
1	4	1	4	2
2	8	4	4	4
3	12	9	4	6
4	16	16	4	8

Ответ: Таблица с координатами и проекциями скоростей представлена выше.

г) нанесите на координатную сетку точки, в которых находился заяц в моменты времени: 0; 1; 2; 3; 4 с;

Для выполнения этого задания необходимо начертить систему координат XY и отметить на ней точки с координатами, взятыми из таблицы в пункте «в»: A(0; 0), B(4; 1), C(8; 4), D(12; 9), E(16; 16). Масштаб по осям можно выбрать, например, 1 клетка = 2 м.

Ответ: На координатной сетке отмечены точки (0; 0), (4; 1), (8; 4), (12; 9), (16; 16).

д) получите уравнение траектории зайца и установите вид траектории. Изобразите её на координатной сетке;

Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $\text{t}$ из законов движения.

Из уравнения для координаты X выразим время: $x = 4t \implies t = \frac{x}{4}$.

Подставим это выражение в уравнение для координаты Y:

$y = t^2 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$

Это уравнение вида $y = kx^2$, где $k = \frac{1}{16}$. Оно описывает параболу с вершиной в начале координат (0,0) и ветвями, направленными вверх вдоль оси Y. Чтобы изобразить траекторию, нужно соединить точки, отмеченные в пункте «г», плавной кривой линией.

Ответ: Уравнение траектории: $y = \frac{x^2}{16}$. Вид траектории — парабола.

*е) используя результаты, полученные в пункте «в», изобразите на координатной сетке проекции и векторы скоростей зайца в моменты времени: 0; 1; 2; 3; 4 с в соответствующем масштабе.

На том же графике, где отмечены точки A, B, C, D, E, из каждой точки нужно отложить вектор скорости $\vec{v}$. Компоненты векторов $(v_x, v_y)$ берутся из таблицы в пункте «в». Необходимо выбрать масштаб для скорости, например, 1 см соответствует 2 м/с.

• В точке A(0;0) ($t=0$ с): вектор скорости $\vec{v}_0$ имеет компоненты (4; 0). Это горизонтальный вектор, направленный вправо вдоль оси X.
• В точке B(4;1) ($t=1$ с): вектор скорости $\vec{v}_1$ имеет компоненты (4; 2).
• В точке C(8;4) ($t=2$ с): вектор скорости $\vec{v}_2$ имеет компоненты (4; 4).
• В точке D(12;9) ($t=3$ с): вектор скорости $\vec{v}_3$ имеет компоненты (4; 6).
• В точке E(16;16) ($t=4$ с): вектор скорости $\vec{v}_4$ имеет компоненты (4; 8).

Каждый вектор скорости направлен по касательной к траектории в соответствующей точке. Горизонтальная проекция всех векторов одинакова, а вертикальная проекция увеличивается со временем, из-за чего векторы становятся все более "крутыми" (направленными вверх).

Ответ: Из каждой точки траектории (0;0), (4;1), (8;4), (12;9), (16;16) отложены векторы скорости с компонентами (4;0), (4;2), (4;4), (4;6), (4;8) соответственно, с соблюдением масштаба.