Номер 1, страница 108 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 2. Динамика. Параграф 17. Решение задач динамики равномерного движения по окружности - номер 1, страница 108.

Условие.

1. Определите, с какой максимальной по модулю скоростью автомобиль, не проскальзывая, может двигаться по дуге окружности радиусом $R = 25 \text{ м}$, если коэффициент трения между его шинами и дорогой $\mu = 0,4$.

Решение.

1. Дано:

Радиус дуги окружности, $R = 25$ м

Коэффициент трения, $μ = 0,4$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Максимальная скорость, $v_{max}$ - ?

Решение:

При движении автомобиля по дуге окружности на него действует центростремительная сила, которая заставляет его изменять направление скорости. В случае движения по горизонтальной дороге эту силу создает сила трения покоя между шинами автомобиля и дорожным покрытием. Она направлена к центру окружности.

Второй закон Ньютона для движения по окружности записывается как:

$F_{ц} = m \cdot a_{ц}$

где $F_{ц}$ – центростремительная сила, $\text{m}$ – масса автомобиля, $a_{ц}$ – центростремительное ускорение, которое равно $a_{ц} = \frac{v^2}{R}$.

Таким образом, $F_{ц} = \frac{m \cdot v^2}{R}$.

В нашем случае $F_{ц} = F_{тр}$.

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое рассчитывается по формуле:

$F_{тр.max} = μ \cdot N$

где $\text{N}$ – сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной дороге сила нормальной реакции опоры по модулю равна силе тяжести:

$N = m \cdot g$

Следовательно, максимальная сила трения покоя равна:

$F_{тр.max} = μ \cdot m \cdot g$

Автомобиль будет двигаться без проскальзывания, пока необходимая для поворота центростремительная сила не превышает максимальную силу трения. Максимальная скорость $v_{max}$ соответствует случаю, когда центростремительная сила равна максимальной силе трения:

$\frac{m \cdot v_{max}^2}{R} = F_{тр.max}$

Подставим выражение для максимальной силы трения:

$\frac{m \cdot v_{max}^2}{R} = μ \cdot m \cdot g$

Масса автомобиля $\text{m}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить:

$\frac{v_{max}^2}{R} = μ \cdot g$

Выразим из этого уравнения максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max}^2 = μ \cdot g \cdot R$

$v_{max} = \sqrt{μ \cdot g \cdot R}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{max} = \sqrt{0,4 \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 25 \text{ м}} = \sqrt{4 \cdot 25} \frac{м}{с} = \sqrt{100} \frac{м}{с} = 10 \frac{м}{с}$

Ответ: максимальная по модулю скорость автомобиля, при которой он не будет проскальзывать, составляет $10$ м/с.