Номер 6, страница 17 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 1. Методы изучения механического движения и взаимодействия тел. Параграф 2. Решение основной задачи механики для движения тела под действием силы тяжести. Вопросы - номер 6, страница 17.

Условие.

6. По какой траектории движется тело, брошенное под углом к горизонту?

Решение.

6. По какой траектории движется тело, брошенное под углом к горизонту?

Решение

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, в поле силы тяжести Земли можно представить как сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения в вертикальном направлении. Для получения уравнения траектории будем пренебрегать сопротивлением воздуха.

Введем систему координат. Начало координат $(0, 0)$ поместим в точку броска. Ось $\text{Ox}$ направим горизонтально по направлению броска, а ось $\text{Oy}$ — вертикально вверх.

Пусть начальная скорость тела равна $v_0$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Разложим вектор начальной скорости на составляющие по осям:

• Проекция на ось $\text{Ox}$: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$
• Проекция на ось $\text{Oy}$: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

Теперь запишем уравнения, описывающие изменение координат тела с течением времени $\text{t}$.

1. Движение по горизонтали (ось $\text{Ox}$). В этом направлении силы не действуют (сопротивление воздуха не учитывается), поэтому ускорение равно нулю ($a_x = 0$). Движение является равномерным. Координата $\text{x}$ в любой момент времени $\text{t}$ находится по формуле:

$x(t) = v_{0x} \cdot t = (v_0 \cos \alpha) \cdot t$ (1)

2. Движение по вертикали (ось $\text{Oy}$). В этом направлении на тело действует сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вниз. Следовательно, проекция ускорения на ось $\text{Oy}$ равна $a_y = -g$. Движение является равноускоренным. Координата $\text{y}$ в любой момент времени $\text{t}$ находится по формуле:

$y(t) = v_{0y} \cdot t + \frac{a_y t^2}{2} = (v_0 \sin \alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$ (2)

Чтобы получить уравнение траектории, то есть зависимость $y(x)$, необходимо исключить из системы уравнений (1) и (2) время $\text{t}$.

Из уравнения (1) выразим время:

$t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$

Теперь подставим это выражение для $\text{t}$ в уравнение (2):

$y(x) = (v_0 \sin \alpha) \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right) - \frac{g}{2} \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right)^2$

После упрощения получим:

$y(x) = x \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}$

Так как $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$, уравнение траектории принимает вид:

$y(x) = (\tan \alpha) \cdot x - \left(\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}\right) \cdot x^2$

Это уравнение является уравнением параболы вида $y = bx - ax^2$, где $b = \tan \alpha$ и $a = \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}$ — постоянные величины. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a > 0$), ветви параболы направлены вниз.

Ответ: Тело, брошенное под углом к горизонту, в отсутствие сопротивления воздуха движется по параболе.