Теоретическое исследование, страница 205 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 7. Построение изображений в зеркалах и линзах. Параграф 40. Формула тонкой линзы. Вопросы - страница 205.

Условие.

Теоретическое исследование

Двояковыпуклая линза имеет оптическую силу, равную $0,1 \text{ дптр}$ (рис. 215, а). Предмет находится на расстоянии $18 \text{ см}$ от неё. Предположим, линзу разрезали пополам вдоль главной плоскости (рис. 215, б) и одну из половинок убрали (рис. 215, в).

а) Какие изменения произойдут с изображением?

б) Проведите соответствующее построение.

Указание. Оптическая сила системы линз равна сумме оптических сил её составляющих.

Рис. 215

Решение.

Дано:

Оптическая сила двояковыпуклой линзы $D_{полн} = 0,1 \text{ дптр}$
Расстояние от предмета до линзы $d = 18 \text{ см}$

В системе СИ:
$D_{полн} = 0,1 \text{ м}^{-1}$
$d = 0,18 \text{ м}$

Найти:

а) Какие изменения произойдут с изображением?
б) Провести соответствующее построение.

Решение:

а) Какие изменения произойдут с изображением?

Сначала проанализируем исходную ситуацию с двояковыпуклой линзой. Найдем фокусное расстояние линзы и положение изображения.

Фокусное расстояние $\text{F}$ связано с оптической силой $\text{D}$ соотношением $F = 1/D$.
Для полной линзы: $F_{полн} = \frac{1}{D_{полн}} = \frac{1}{0,1 \text{ дптр}} = 10 \text{ м}$.

Воспользуемся формулой тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D$, где $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.
$\frac{1}{f_1} = D_{полн} - \frac{1}{d} = 0,1 - \frac{1}{0,18} \approx 0,1 - 5,56 = -5,46 \text{ м}^{-1}$.
Отсюда расстояние до изображения: $f_1 = \frac{1}{-5,46} \approx -0,183 \text{ м} = -18,3 \text{ см}$.
Знак «минус» означает, что изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет.

Теперь рассмотрим ситуацию после того, как линзу разрезали и оставили одну половинку (плоско-выпуклую линзу).
Согласно указанию, оптическая сила двояковыпуклой линзы (которую можно представить как систему из двух сложенных плоско-выпуклых линз) равна сумме их оптических сил. Так как половинки одинаковы, то оптическая сила одной половинки будет вдвое меньше:
$D_{половины} = \frac{D_{полн}}{2} = \frac{0,1 \text{ дптр}}{2} = 0,05 \text{ дптр}$.

Новое фокусное расстояние: $F_{половины} = \frac{1}{D_{половины}} = \frac{1}{0,05 \text{ дптр}} = 20 \text{ м}$.
Фокусное расстояние увеличилось в два раза.

Найдем новое положение изображения $f_2$, при этом расстояние до предмета $\text{d}$ не изменилось:
$\frac{1}{f_2} = D_{половины} - \frac{1}{d} = 0,05 - \frac{1}{0,18} \approx 0,05 - 5,56 = -5,51 \text{ м}^{-1}$.
$f_2 = \frac{1}{-5,51} \approx -0,181 \text{ м} = -18,1 \text{ см}$.

Сравним характеристики изображений:
1. Положение: Изображение осталось мнимым, но немного сместилось ближе к линзе (с $-18,3$ см до $-18,1$ см).
2. Размер: Увеличение линзы $\Gamma = |f/d|$.
Исходное увеличение: $\Gamma_1 = \frac{|-18,3|}{18} \approx 1,017$.
Новое увеличение: $\Gamma_2 = \frac{|-18,1|}{18} \approx 1,006$.
Увеличение немного уменьшилось, то есть изображение стало чуть меньше.
3. Яркость: Так как для формирования изображения теперь используется только половина линзы, она собирает в два раза меньше света от предмета. Следовательно, яркость изображения уменьшится примерно вдвое.

Ответ: После того как убрали одну половину линзы, её оптическая сила уменьшилась вдвое, а фокусное расстояние вдвое увеличилось. Изображение останется мнимым, но немного приблизится к линзе, его размер незначительно уменьшится, а яркость упадёт примерно в два раза.

б) Проведите соответствующее построение.

Построение изображения в тонкой линзе выполняется с помощью двух стандартных лучей, выходящих из одной точки предмета (например, из его вершины).
Луч 1: луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через её задний фокус.
Луч 2: луч, проходящий через оптический центр линзы, не меняет своего направления.

Поскольку в обоих случаях расстояние до предмета ($d=18$ см) много меньше фокусного расстояния ($F_{полн} = 10$ м и $F_{половины} = 20$ м), изображение будет мнимым, прямым и увеличенным. Оно находится на пересечении продолжений преломлённых лучей.

Построение для двояковыпуклой линзы:
1. Из вершины предмета проводим луч, параллельный главной оптической оси, до пересечения с плоскостью линзы.
2. От точки пересечения проводим преломлённый луч через задний фокус $F_{полн}$.
3. Из вершины предмета проводим второй луч через оптический центр линзы.
4. Преломлённый луч и луч, прошедший через центр, расходятся. Продолжаем их в сторону, противоположную направлению распространения света (т.е. в сторону предмета). Точка их пересечения даст мнимое изображение вершины предмета.

Построение для плоско-выпуклой линзы:
1. Процесс построения аналогичен, но используется новое фокусное расстояние $F_{половины}$, которое в два раза больше $F_{полн}$.
2. Так как фокус стал дальше, луч, параллельный главной оптической оси, после преломления отклонится на меньший угол.
3. В результате его продолжение пересечётся с лучом, прошедшим через оптический центр, в точке, которая находится ближе к линзе и немного ниже по сравнению с первым случаем.

Таким образом, геометрическое построение подтверждает выводы, сделанные в пункте а): изображение смещается к линзе и его размер уменьшается.

Ответ: Построение для обоих случаев выполняется с помощью луча, параллельного главной оптической оси, и луча, проходящего через оптический центр. Так как после удаления половины линзы её фокусное расстояние увеличивается, параллельный луч преломляется под меньшим углом. В результате пересечение продолжений лучей (мнимое изображение) оказывается ближе к линзе и даёт меньшее увеличение, что полностью согласуется с расчетами.