Номер 15.5, страница 68 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 15.5. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и разгоняется на горизонтальном участке пути до скорости 36 км/ч. Чему равно отношение полезной работы $A_1$ автомобильного двигателя, совершённой при увеличении скорости автомобиля от 0 до 18 км/ч, к работе $A_2$, совершённой при увеличении скорости автомобиля от 18 до 36 км/ч?

Дано:

Скорости на первом этапе разгона: от $v_0 = 0$ до $v_1 = 18$ км/ч.

Скорости на втором этапе разгона: от $v_1 = 18$ км/ч до $v_2 = 36$ км/ч.

Работа на первом этапе: $A_1$.

Работа на втором этапе: $A_2$.

Перевод скоростей в систему СИ:

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$v_1 = 18 \text{ км/ч} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

$v_2 = 36 \text{ км/ч} = 36 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

Найти:

$\frac{A_1}{A_2}$

Решение:

Полезной работой двигателя, идущей на увеличение скорости автомобиля, является работа по увеличению его кинетической энергии. Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершённая над телом, равна изменению его кинетической энергии:

$A = \Delta E_k = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}}$

Кинетическая энергия тела массой $\text{m}$ и скоростью $\text{v}$ определяется формулой:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Работа $A_1$, совершённая при разгоне автомобиля от скорости $v_0$ до $v_1$, равна:

$A_1 = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$

Так как автомобиль начинает движение из состояния покоя, $v_0 = 0$. Следовательно:

$A_1 = \frac{mv_1^2}{2}$

Работа $A_2$, совершённая при разгоне автомобиля от скорости $v_1$ до $v_2$, равна:

$A_2 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$

Теперь найдем отношение работ $A_1$ к $A_2$:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{mv_1^2}{2}}{\frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}}$

Сократив в числителе и знаменателе общий множитель $\frac{m}{2}$, получим выражение, не зависящее от массы автомобиля:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2 - v_1^2}$

Подставим значения скоростей. Так как мы ищем отношение, единицы измерения скоростей могут быть любыми, главное — одинаковыми. Воспользуемся значениями в км/ч: $v_1 = 18$ км/ч, $v_2 = 36$ км/ч.

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{18^2}{36^2 - 18^2} = \frac{324}{1296 - 324} = \frac{324}{972} = \frac{1}{3}$

Этот же результат можно получить, заметив, что $v_2 = 2v_1$. Подставим это соотношение в формулу:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{v_1^2}{(2v_1)^2 - v_1^2} = \frac{v_1^2}{4v_1^2 - v_1^2} = \frac{v_1^2}{3v_1^2} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{3}$.