Номер 3, страница 73 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

3. При выборе начала отсчёта на поверхности Земли изменение кинетической энергии свободно падающего с высоты $\text{h}$ тела равно изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с противоположным знаком. Сохранится ли это равенство при выборе начала отсчёта потенциальной энергии на высоте $\text{h}$?

Решение:

Вопрос заключается в том, является ли равенство $ΔE_к = -ΔE_п$ инвариантным относительно выбора нулевого уровня потенциальной энергии.

Закон сохранения полной механической энергии для тела в поле силы тяжести (при отсутствии сил сопротивления) гласит, что изменение кинетической энергии плюс изменение потенциальной энергии равно нулю:

$ΔE_к + ΔE_п = 0$

Отсюда следует, что $ΔE_к = -ΔE_п$. Это соотношение является прямым следствием закона сохранения энергии. Чтобы ответить на вопрос, нужно выяснить, зависят ли сами величины $ΔE_к$ и $ΔE_п$ от выбора начала отсчета потенциальной энергии.

Изменение кинетической энергии $ΔE_к = E_{к2} - E_{к1}$ зависит только от начальной и конечной скоростей тела. Скорости, в свою очередь, определяются разностью высот, но не абсолютными значениями высот. Таким образом, $ΔE_к$ не зависит от выбора нулевого уровня.

Рассмотрим изменение потенциальной энергии $ΔE_п$. Потенциальная энергия тела на высоте $\text{y}$ относительно некоторого нулевого уровня определяется как $E_п = mgy$. Изменение потенциальной энергии при перемещении тела с высоты $y_1$ на высоту $y_2$ равно:

$ΔE_п = E_{п2} - E_{п1} = mgy_2 - mgy_1 = mg(y_2 - y_1)$

Как видно из формулы, изменение потенциальной энергии зависит только от разности высот $(y_2 - y_1)$, а не от их абсолютных значений. Выбор другого нулевого уровня просто добавит ко всем значениям потенциальной энергии одну и ту же константу $\text{C}$, которая сократится при вычислении разности:

Если новый нулевой уровень выбран так, что $E'_п = E_п + C$, то

$ΔE'_п = E'_{п2} - E'_{п1} = (E_{п2} + C) - (E_{п1} + C) = E_{п2} - E_{п1} = ΔE_п$

Таким образом, изменение потенциальной энергии $ΔE_п$ не зависит от выбора начала отсчета.

Проверим это на конкретном примере из задачи.

Случай 1. Начало отсчета на поверхности Земли (высота 0).

Тело падает с высоты $\text{h}$ на землю. Начальное положение: высота $h_1 = h$, скорость $v_1 = 0$. Конечное положение: высота $h_2 = 0$, скорость $v_2$.

Начальная энергия: $E_{к1} = 0$, $E_{п1} = mgh$.

Конечная энергия: $E_{к2} = \frac{mv_2^2}{2}$, $E_{п2} = mg \cdot 0 = 0$.

Изменения энергий:

$ΔE_к = E_{к2} - E_{к1} = \frac{mv_2^2}{2}$.

$ΔE_п = E_{п2} - E_{п1} = 0 - mgh = -mgh$.

Из закона сохранения энергии $\frac{mv_2^2}{2} = mgh$, поэтому $ΔE_к = mgh$. Мы видим, что $ΔE_к = -ΔE_п$.

Случай 2. Начало отсчета на высоте h.

Теперь нулевой уровень потенциальной энергии находится на высоте $\text{h}$.

Начальное положение: высота относительно нового нуля $h'_1 = 0$, скорость $v_1 = 0$.

Конечное положение (поверхность Земли): высота относительно нового нуля $h'_2 = 0 - h = -h$, скорость $v_2$.

Начальная энергия: $E'_{к1} = 0$, $E'_{п1} = mgh'_1 = 0$.

Конечная энергия: $E'_{к2} = \frac{mv_2^2}{2}$, $E'_{п2} = mgh'_2 = mg(-h) = -mgh$.

Изменения энергий:

$ΔE_к = E'_{к2} - E'_{к1} = \frac{mv_2^2}{2} - 0 = \frac{mv_2^2}{2}$. (Изменение кинетической энергии, очевидно, не изменилось).

$ΔE'_п = E'_{п2} - E'_{п1} = -mgh - 0 = -mgh$.

Так как из закона сохранения энергии по-прежнему следует, что $\frac{mv_2^2}{2} = mgh$, мы получаем $ΔE_к = mgh$.

Сравнивая изменения, видим, что и в этом случае $ΔE_к = mgh$, а $ΔE'_п = -mgh$. Следовательно, равенство $ΔE_к = -ΔE'_п$ сохраняется.

Вывод:

Изменение как кинетической, так и потенциальной энергии не зависит от выбора нулевого уровня потенциальной энергии. Следовательно, соотношение между ними, вытекающее из закона сохранения энергии, также не зависит от этого выбора.

Ответ: Да, это равенство сохранится. Изменение потенциальной энергии, в отличие от ее абсолютного значения, не зависит от выбора начала отсчета (нулевого уровня). Так как изменение кинетической энергии также не зависит от этого выбора, то и равенство $ΔE_к = -ΔE_п$ будет выполняться при любом выборе нулевого уровня потенциальной энергии.