Номер 16.2, страница 74 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 16.2. Тело первый раз свободно падает с высоты 5 м, второй раз скользит без трения по наклонной плоскости длиной 10 м с той же высоты. Найдите отношения скоростей тела и времени его движения в первом и втором случаях.

Дано:

Высота падения (и высота наклонной плоскости), $h = 5$ м.

Длина наклонной плоскости, $L = 10$ м.

Начальная скорость в обоих случаях, $v_0 = 0$ м/с.

Трение отсутствует.

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Отношение конечных скоростей в первом и втором случаях, $\frac{v_1}{v_2}$.

Отношение времени движения в первом и втором случаях, $\frac{t_1}{t_2}$.

Решение:

Рассмотрим каждый случай отдельно, а затем найдем искомые отношения.

Отношение скоростей

Для нахождения конечных скоростей в обоих случаях можно использовать закон сохранения механической энергии, так как по условию трение отсутствует (для свободного падения сопротивлением воздуха также пренебрегаем).

В начальный момент времени тело покоится ($v_0 = 0$) на высоте $\text{h}$. Его полная механическая энергия равна его потенциальной энергии: $E_{нач} = E_p = mgh$, где $\text{m}$ - масса тела.

В конечный момент времени (в конце пути) тело находится на нулевой высоте ($h=0$) и движется со скоростью $\text{v}$. Его полная механическая энергия равна его кинетической энергии: $E_{кон} = E_k = \frac{mv^2}{2}$.

По закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{кон}$: $mgh = \frac{mv^2}{2}$

Из этого уравнения можно выразить конечную скорость $\text{v}$: $v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2gh}$

Эта формула справедлива для обоих случаев, так как конечная скорость зависит только от начальной высоты, а не от траектории движения (при отсутствии сил сопротивления). Следовательно, скорость тела в конце свободного падения $v_1 = \sqrt{2gh}$ и скорость тела в конце скольжения по наклонной плоскости $v_2 = \sqrt{2gh}$.

Таким образом, скорости равны, и их отношение:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{2gh}} = 1$

Ответ: Отношение скоростей равно 1.

Отношение времени движения

1. Время свободного падения ($t_1$). Движение является равноускоренным с ускорением $a_1 = g$. Путь, пройденный телом, равен $\text{h}$. Воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

$h = \frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{gt_1^2}{2}$

Отсюда выразим время $t_1$:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

2. Время скольжения по наклонной плоскости ($t_2$). Движение также является равноускоренным, но с ускорением $a_2$, направленным вдоль наклонной плоскости. Пройденный путь равен длине плоскости $\text{L}$.

Ускорение $a_2$ является проекцией ускорения свободного падения $\text{g}$ на наклонную плоскость. Если $\alpha$ - угол наклона плоскости к горизонту, то $a_2 = g \sin(\alpha)$.

Из геометрии задачи мы можем найти синус угла: $\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$.

Тогда ускорение тела равно: $a_2 = g \frac{h}{L}$.

Используем ту же формулу для пути: $L = \frac{a_2 t_2^2}{2} = \frac{(g \frac{h}{L}) t_2^2}{2}$

Выразим отсюда время $t_2$:

$t_2^2 = \frac{2L}{g \frac{h}{L}} = \frac{2L^2}{gh} \implies t_2 = \sqrt{\frac{2L^2}{gh}} = L\sqrt{\frac{2}{gh}}$

3. Найдем отношение времен $t_1/t_2$.

$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{\frac{2h}{g}}}{L\sqrt{\frac{2}{gh}}} = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{2h}{g} \cdot \frac{gh}{2}} = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{2hgh}{2g}} = \frac{1}{L} \sqrt{h^2} = \frac{h}{L}$

Теперь подставим числовые значения:

$\frac{t_1}{t_2} = \frac{5 \text{ м}}{10 \text{ м}} = 0.5$

Ответ: Отношение времени движения равно 0.5.