Номер 8, страница 104 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-4. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии. Вариант 3 - номер 8, страница 104.

Условие.

8. При взрыве камень разрывается на три части. Два осколка летят под прямым углом друг к другу: массой $m_1 = 1$ кг со скоростью 12 м/с и массой $m_2 = 2$ кг со скоростью 8 м/с. Третий кусок отлетает со скоростью 40 м/с. Какова масса третьего осколка и в каком направлении он летит?

Решение.

Дано:

$m_1 = 1$ кг

$v_1 = 12$ м/с

$m_2 = 2$ кг

$v_2 = 8$ м/с

$v_3 = 40$ м/с

Угол между векторами скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ равен $90^\circ$ ($\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$).

Найти:

$m_3$ - ?

Направление полета третьего осколка - ?

Решение:

При взрыве камня выполняется закон сохранения импульса. Поскольку до взрыва камень покоился, его начальный импульс был равен нулю. Следовательно, суммарный импульс всех осколков после взрыва также должен быть равен нулю.

В векторной форме закон сохранения импульса записывается так:

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = \vec{0}$

где $\vec{p}_1 = m_1\vec{v}_1$, $\vec{p}_2 = m_2\vec{v}_2$, $\vec{p}_3 = m_3\vec{v}_3$ — импульсы осколков.

Из этого уравнения следует, что импульс третьего осколка равен:

$\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$

Это означает, что вектор импульса третьего осколка $\vec{p}_3$ по модулю равен модулю векторной суммы импульсов первых двух осколков $|\vec{p}_1 + \vec{p}_2|$ и направлен в противоположную сторону.

Найдем модули импульсов первого и второго осколков:

$p_1 = m_1 v_1 = 1 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p_2 = m_2 v_2 = 2 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с} = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Так как векторы скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ перпендикулярны, то и векторы импульсов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ также перпендикулярны. Модуль их векторной суммы можно найти по теореме Пифагора:

$|\vec{p}_1 + \vec{p}_2| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2}$

Модуль импульса третьего осколка равен:

$p_3 = |\vec{p}_3| = |\vec{p}_1 + \vec{p}_2| = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Зная модуль импульса и скорость третьего осколка, найдем его массу:

$m_3 = \frac{p_3}{v_3} = \frac{20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{40 \text{ м/с}} = 0.5 \text{ кг}$

Теперь определим направление полета третьего осколка. Вектор его импульса $\vec{p}_3$ направлен противоположно вектору суммы $\vec{p}_1 + \vec{p}_2$. Векторы $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$ и $-\vec{p}_3$ образуют замкнутый треугольник. Так как $\vec{p}_1 \perp \vec{p}_2$, этот треугольник является прямоугольным, где $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ — катеты, а $-\vec{p}_3$ — гипотенуза.

Найдем угол $\alpha_1$ между вектором $-\vec{p}_3$ и вектором $\vec{p}_1$. В прямоугольном треугольнике косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha_1) = \frac{p_1}{|-\vec{p}_3|} = \frac{p_1}{p_3} = \frac{12}{20} = 0.6$

$\alpha_1 = \arccos(0.6) \approx 53^\circ$

Вектор $\vec{p}_3$ направлен в противоположную сторону к вектору $-\vec{p}_3$, поэтому угол $\beta_1$ между $\vec{p}_3$ и $\vec{p}_1$ (направлением движения первого осколка) равен:

$\beta_1 = 180^\circ - \alpha_1 \approx 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$

Аналогично найдем угол $\beta_2$ между вектором $\vec{p}_3$ и вектором $\vec{p}_2$ (направлением движения второго осколка). Угол $\alpha_2$ между $-\vec{p}_3$ и $\vec{p}_2$ равен:

$\cos(\alpha_2) = \frac{p_2}{|-\vec{p}_3|} = \frac{p_2}{p_3} = \frac{16}{20} = 0.8$

$\alpha_2 = \arccos(0.8) \approx 37^\circ$

Угол $\beta_2$ между $\vec{p}_3$ и $\vec{p}_2$ равен:

$\beta_2 = 180^\circ - \alpha_2 \approx 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

Ответ: масса третьего осколка $m_3 = 0.5$ кг. Осколок летит в направлении, составляющем угол примерно $127^\circ$ с направлением движения первого осколка и угол примерно $143^\circ$ с направлением движения второго осколка.