Номер 6, страница 105 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-4. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии. Вариант 4 - номер 6, страница 105.

Условие.

6. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. На какой высоте кинетическая энергия тела будет равна половине его потенциальной энергии, если принять потенциальную энергию тела в точке бросания равной нулю?

Решение.

Дано:

Начальная скорость тела, $v_0 = 30$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Потенциальная энергия в точке бросания, $E_{p0} = 0$ Дж

Соотношение энергий на искомой высоте $\text{h}$: $E_k = \frac{1}{2}E_p$

Найти:

Высоту $\text{h}$

Решение:

Запишем закон сохранения полной механической энергии для тела, брошенного вертикально вверх. В начальный момент времени (в точке бросания на высоте $h_0 = 0$) полная механическая энергия тела $E_0$ складывается из кинетической энергии $E_{k0}$ и потенциальной энергии $E_{p0}$.

По условию, потенциальная энергия в точке бросания равна нулю ($E_{p0} = 0$), поэтому начальная полная энергия равна начальной кинетической энергии:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

где $\text{m}$ — масса тела.

На искомой высоте $\text{h}$ полная механическая энергия тела $\text{E}$ будет равна сумме его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий в этой точке:

$E = E_k + E_p$

Потенциальная энергия тела на высоте $\text{h}$ определяется формулой:

$E_p = mgh$

Согласно условию задачи, на этой высоте кинетическая энергия равна половине потенциальной:

$E_k = \frac{1}{2}E_p$

Подставим это соотношение в выражение для полной энергии на высоте $\text{h}$:

$E = \frac{1}{2}E_p + E_p = \frac{3}{2}E_p$

Теперь подставим формулу для потенциальной энергии:

$E = \frac{3}{2}mgh$

Так как сопротивление воздуха не учитывается, полная механическая энергия сохраняется, то есть $E_0 = E$. Приравняем выражения для начальной и конечной энергии:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{3}{2}mgh$

Сократим обе части уравнения на $\frac{m}{2}$:

$v_0^2 = 3gh$

Из этого уравнения выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_0^2}{3g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h = \frac{(30 \text{ м/с})^2}{3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{900 \text{ м}^2/\text{с}^2}{30 \text{ м/с}^2} = 30 \text{ м}$

Ответ:

Кинетическая энергия тела будет равна половине его потенциальной энергии на высоте 30 м.