Номер 4, страница 37 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-5. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 2 - номер 4, страница 37.

Условие.

4. Чему равно ускорение свободного падения на высоте, равной половине радиуса Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

А. $\approx 4,4 \text{ м/с}^2$

Б. $\approx 9,8 \text{ м/с}^2$

В. $\approx 16,4 \text{ м/с}^2$

Решение.

Дано:

$h = \frac{1}{2} R_З$

$R_З = 6400 \text{ км}$

$g_0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$g_h$

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ зависит от массы планеты $\text{M}$ и расстояния до её центра $\text{r}$ согласно закону всемирного тяготения. На поверхности Земли (где расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$) ускорение свободного падения $g_0$ определяется формулой:

$g_0 = \frac{G \cdot M}{R_З^2}$

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли расстояние до центра планеты становится равным $R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте $g_h$ будет равно:

$g_h = \frac{G \cdot M}{(R_З + h)^2}$

Чтобы найти соотношение между $g_h$ и $g_0$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{\frac{G \cdot M}{(R_З + h)^2}}{\frac{G \cdot M}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Отсюда выразим искомое ускорение $g_h$:

$g_h = g_0 \cdot \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, высота $\text{h}$ равна половине радиуса Земли: $h = \frac{1}{2}R_З$. Подставим это значение в нашу формулу:

$g_h = g_0 \cdot \frac{R_З^2}{(R_З + \frac{1}{2}R_З)^2} = g_0 \cdot \frac{R_З^2}{(\frac{3}{2}R_З)^2} = g_0 \cdot \frac{R_З^2}{\frac{9}{4}R_З^2}$

Сократив $R_З^2$ в числителе и знаменателе, получим:

$g_h = g_0 \cdot \frac{1}{\frac{9}{4}} = g_0 \cdot \frac{4}{9}$

Теперь подставим числовое значение ускорения свободного падения на поверхности Земли $g_0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:

$g_h \approx 9,8 \cdot \frac{4}{9} \approx \frac{39,2}{9} \approx 4,355... \text{ м/с}^2$

Округляя результат до десятых, получаем $g_h \approx 4,4 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $A. \approx 4,4 \text{ м/с}^2$.