Номер 1, страница 70 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Обсуди с товарищами. § 14. Свободное падение тел. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 1, страница 70.

1. Шарик свободно падает на горизонтальную плиту с высоты Н. Начертите графики зависимости скорости шарика и его высоты над плитой от времени. Временем удара пренебречь.

Решение

Для решения задачи проанализируем движение шарика. Оно состоит из повторяющихся циклов: свободное падение, упругий удар о плиту и движение вверх до начальной высоты. Сопротивлением воздуха и временем удара пренебрегаем, как указано в условии. Удар будем считать абсолютно упругим, то есть кинетическая энергия при ударе сохраняется, а скорость меняет направление на противоположное.

Направим ось координат OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) поместим на поверхности плиты. Начальная высота шарика $H$, начальная скорость $v_0=0$. Ускорение свободного падения направлено вниз, поэтому его проекция на ось OY равна $a_y = -g$.

Найдем ключевые параметры движения:

1. Время падения ($t_1$): Движение происходит по закону $h(t) = H + v_0t + \frac{gt^2}{2}$. В нашем случае $h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$. Шарик достигает плиты ($h=0$) в момент времени $t_1$, который находится из уравнения $0 = H - \frac{gt_1^2}{2}$. Отсюда $t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}}$.

2. Скорость перед ударом ($v_1$): Скорость изменяется по закону $v(t) = v_0 - gt = -gt$. В момент удара $t_1$ скорость равна $v_1 = -gt_1 = -g\sqrt{\frac{2H}{g}} = -\sqrt{2gH}$.

3. Скорость после удара ($v'_1$): При абсолютно упругом ударе скорость мгновенно меняет знак: $v'_1 = -v_1 = \sqrt{2gH}$.

4. Время подъема: Время подъема до максимальной высоты после удара равно времени падения с этой высоты. Так как скорость после отскока по модулю равна скорости перед падением, шарик поднимется на ту же высоту $H$, и время подъема будет равно $t_1$.

Таким образом, движение является периодическим. Падение занимает время $t_1$. Последующий полет вверх и вниз занимает время $2t_1$. Удары о плиту происходят в моменты времени $t_1$, $3t_1$, $5t_1$, и т.д.

---

График зависимости высоты шарика над плитой от времени $h(t)$

График зависимости высоты от времени $h(t)$ будет состоять из последовательности параболических сегментов.

- В начальный момент $t=0$, высота $h=H$.

- На интервале $t \in [0, t_1]$ высота изменяется по закону $h(t) = H - \frac{gt^2}{2}$. Это участок параболы с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $(0, H)$. График плавно начинается с горизонтальной касательной (нулевая начальная скорость) и опускается до точки $(t_1, 0)$.

- На интервале $t \in [t_1, 3t_1]$ шарик совершает полет вверх до высоты $H$ и обратно. Этот участок описывается параболой $h(t) = v'_1(t-t_1) - \frac{g(t-t_1)^2}{2} = \sqrt{2gH}(t-t_1) - \frac{g(t-t_1)^2}{2}$. Вершина этой параболы находится в точке $(2t_1, H)$.

- Процесс повторяется периодически. Максимальная высота $H$ достигается в моменты $t=0, 2t_1, 4t_1, \dots$. Высота равна нулю в моменты $t=t_1, 3t_1, 5t_1, \dots$.

Ответ: График $h(t)$ представляет собой последовательность состыкованных параболических арок. Он начинается в точке $(0, H)$, опускается до $h=0$ в момент $t_1=\sqrt{2H/g}$, формируя "острый угол" с осью времени. Затем поднимается до высоты $H$ в момент $2t_1$ (плавная вершина) и снова опускается до нуля в момент $3t_1$. Этот цикл повторяется.

---

График зависимости скорости шарика от времени $v(t)$

График зависимости проекции скорости на ось OY от времени $v(t)$ представляет собой "пилообразную" ломаную линию с разрывами.

- В начальный момент $t=0$, скорость $v=0$.

- На интервале $t \in [0, t_1)$ скорость линейно убывает по закону $v(t) = -gt$. График — это отрезок прямой, идущий из точки $(0, 0)$ в точку $(t_1, -\sqrt{2gH})$.

- В момент $t=t_1$ происходит удар, и скорость мгновенно меняется от $-\sqrt{2gH}$ до $+\sqrt{2gH}$. На графике это представляет собой вертикальный разрыв (скачок).

- На интервале $t \in (t_1, 3t_1)$ скорость снова линейно убывает по закону $v(t) = \sqrt{2gH} - g(t-t_1)$. График — это отрезок прямой с тем же наклоном $-g$, идущий из точки $(t_1, +\sqrt{2gH})$ в точку $(t_3, -\sqrt{2gH})$. Он пересекает ось времени в момент $t_2=2t_1$, когда шарик достигает пика своей траектории.

- Процесс повторяется периодически с периодом $T = 2t_1 = 2\sqrt{2H/g}$.

Ответ: График $v(t)$ — это периодическая пилообразная линия. Он начинается в $(0,0)$, линейно убывает до $v=-\sqrt{2gH}$ за время $t_1$. В момент $t_1$ происходит мгновенный скачок до $v=+\sqrt{2gH}$. Затем скорость снова линейно убывает, достигая нуля в момент $2t_1$ и значения $-\sqrt{2gH}$ в момент $3t_1$. Далее циклы повторяются. Все наклонные участки графика параллельны друг другу и имеют тангенс угла наклона, равный $-g$.