Страница 333 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Для каждого из векторов, изображённых на рисунке 219, определите:

а) координаты начала и конца;

б) проекции на ось y,

в) модули проекций на ось y;

г) модули векторов.

Дано:

Графическое изображение векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ в декартовой системе координат (Рис. 219). Единичный отрезок по осям x и y равен 1 см.

1 см = 0.01 м

Найти:

Для каждого из векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$:

а) координаты начала и конца;

б) проекцию на ось y;

в) модуль проекции на ось y;

г) модуль вектора.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся следующими определениями и формулами. Пусть вектор $\vec{v}$ имеет начало в точке с координатами $(x_1, y_1)$ и конец в точке с координатами $(x_2, y_2)$.

Координаты начала и конца вектора определяются непосредственно по графику.

Проекции вектора на оси координат вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора: проекция на ось x $v_x = x_2 - x_1$, проекция на ось y $v_y = y_2 - y_1$.

Модуль проекции на ось — это абсолютное значение (величина) проекции, например, $|v_y|$.

Модуль (длина) вектора $|\vec{v}|$ вычисляется по теореме Пифагора через его проекции: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Рассмотрим каждый вектор отдельно.

Вектор $\vec{a}$

а) Начало вектора находится в точке с координатами $(1; 4)$, конец — в точке $(1; 2)$. Ответ: Начало (1; 4), конец (1; 2).

б) Проекция на ось y: $a_y = y_2 - y_1 = 2 \text{ см} - 4 \text{ см} = -2 \text{ см}$. Ответ: -2 см.

в) Модуль проекции на ось y: $|a_y| = |-2 \text{ см}| = 2 \text{ см}$. Ответ: 2 см.

г) Проекция на ось x: $a_x = x_2 - x_1 = 1 \text{ см} - 1 \text{ см} = 0 \text{ см}$. Модуль вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \text{ см}$. Ответ: 2 см.

Вектор $\vec{b}$

а) Начало вектора находится в точке с координатами $(2; 0)$, конец — в точке $(4; 4)$. Ответ: Начало (2; 0), конец (4; 4).

б) Проекция на ось y: $b_y = y_2 - y_1 = 4 \text{ см} - 0 \text{ см} = 4 \text{ см}$. Ответ: 4 см.

в) Модуль проекции на ось y: $|b_y| = |4 \text{ см}| = 4 \text{ см}$. Ответ: 4 см.

г) Проекция на ось x: $b_x = x_2 - x_1 = 4 \text{ см} - 2 \text{ см} = 2 \text{ см}$. Модуль вектора: $|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см}$. Ответ: $2\sqrt{5}$ см.

Вектор $\vec{c}$

а) Начало вектора находится в точке с координатами $(4.5; 1)$, конец — в точке $(6; 1)$. Ответ: Начало (4.5; 1), конец (6; 1).

б) Проекция на ось y: $c_y = y_2 - y_1 = 1 \text{ см} - 1 \text{ см} = 0 \text{ см}$. Ответ: 0 см.

в) Модуль проекции на ось y: $|c_y| = |0 \text{ см}| = 0 \text{ см}$. Ответ: 0 см.

г) Проекция на ось x: $c_x = x_2 - x_1 = 6 \text{ см} - 4.5 \text{ см} = 1.5 \text{ см}$. Модуль вектора: $|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} = \sqrt{1.5^2 + 0^2} = 1.5 \text{ см}$. Ответ: 1.5 см.

Вектор $\vec{d}$

а) Начало вектора находится в точке с координатами $(6; -1)$, конец — в точке $(3; -4)$. Ответ: Начало (6; -1), конец (3; -4).

б) Проекция на ось y: $d_y = y_2 - y_1 = -4 \text{ см} - (-1 \text{ см}) = -3 \text{ см}$. Ответ: -3 см.

в) Модуль проекции на ось y: $|d_y| = |-3 \text{ см}| = 3 \text{ см}$. Ответ: 3 см.

г) Проекция на ось x: $d_x = x_2 - x_1 = 3 \text{ см} - 6 \text{ см} = -3 \text{ см}$. Модуль вектора: $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см}$. Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

Вектор $\vec{e}$

а) Начало вектора находится в точке с координатами $(1; -4)$, конец — в точке $(1; -1)$. Ответ: Начало (1; -4), конец (1; -1).

б) Проекция на ось y: $e_y = y_2 - y_1 = -1 \text{ см} - (-4 \text{ см}) = 3 \text{ см}$. Ответ: 3 см.

в) Модуль проекции на ось y: $|e_y| = |3 \text{ см}| = 3 \text{ см}$. Ответ: 3 см.

г) Проекция на ось x: $e_x = x_2 - x_1 = 1 \text{ см} - 1 \text{ см} = 0 \text{ см}$. Модуль вектора: $|\vec{e}| = \sqrt{e_x^2 + e_y^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$. Ответ: 3 см.

2. На рисунке 220 изображена траектория движения шарика, переместившегося из точки А в точку B. Определите:

а) координаты начального и конечного положений шарика;

б) проекции s_x и s_y перемещения шарика;

в) модули |s_x| и |s_y| проекций перемещения;

г) модуль перемещения |s|.

Дано:

Из графика на рисунке 220:

Координаты начальной точки A: $x_A = 0$ см, $y_A = 2$ см.

Координаты конечной точки B: $x_B = 12$ см, $y_B = -3$ см.

$x_A = 0 \text{ см} = 0 \text{ м}$

$y_A = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$x_B = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$y_B = -3 \text{ см} = -0.03 \text{ м}$

Найти:

а) Координаты начального и конечного положений шарика;

б) Проекции $s_x$ и $s_y$ перемещения шарика;

в) Модули $|s_x|$ и $|s_y|$ проекций перемещения;

г) Модуль перемещения $|\vec{s}|$.

Решение:

а) координаты начального и конечного положений шарика;

Координаты точек определяем непосредственно из графика. Начальное положение шарика — точка А, которая находится на оси OY в точке 2. Конечное положение — точка B.

Координаты начальной точки A: ($x_A$; $y_A$) = (0 см; 2 см).

Координаты конечной точки B: ($x_B$; $y_B$) = (12 см; -3 см).

Ответ: Координаты начального положения А(0; 2) см. Координаты конечного положения В(12; -3) см.

б) проекции $s_x$ и $s_y$ перемещения шарика;

Проекция вектора перемещения на ось Ox вычисляется как разность конечной и начальной координат по оси x: $s_x = x_B - x_A$.

Проекция вектора перемещения на ось Oy вычисляется как разность конечной и начальной координат по оси y: $s_y = y_B - y_A$.

Подставим значения координат:

$s_x = 12 \text{ см} - 0 \text{ см} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$s_y = -3 \text{ см} - 2 \text{ см} = -5 \text{ см} = -0.05 \text{ м}$

Ответ: $s_x = 12$ см (или 0.12 м), $s_y = -5$ см (или -0.05 м).

в) модули $|s_x|$ и $|s_y|$ проекций перемещения;

Модуль проекции — это абсолютное значение (величина) проекции.

$|s_x| = |12 \text{ см}| = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$|s_y| = |-5 \text{ см}| = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Ответ: $|s_x| = 12$ см (или 0.12 м), $|s_y| = 5$ см (или 0.05 м).

г) модуль перемещения $|\vec{s}|$.

Модуль вектора перемещения $|\vec{s}|$ (длину вектора) можно найти по теореме Пифагора, используя проекции перемещения $s_x$ и $s_y$ в качестве катетов прямоугольного треугольника.

Формула для расчета модуля перемещения: $|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$.

Подставим значения проекций:

$|\vec{s}| = \sqrt{(12 \text{ см})^2 + (-5 \text{ см})^2} = \sqrt{144 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2} = \sqrt{169 \text{ см}^2} = 13 \text{ см}$

Переведем результат в систему СИ: $13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$.

Ответ: $|\vec{s}| = 13$ см (или 0.13 м).

3. Катер переместился относительно пристани из точки А(-8 м; -2 м) в точку В(4 м; 3 м). Сделайте чертёж, совместив начало координат с пристанью и указав на нём точки А и В. Определите перемещение катера АВ. Мог ли путь, проделанный катером, быть больше совершённого им перемещения; меньше перемещения; равен перемещению? Ответы обоснуйте.

Сделайте чертёж, совместив начало координат с пристанью и указав на нём точки А и В.

Система координат связана с пристанью, которая находится в начале координат О(0; 0). Начальное положение катера — точка А с координатами (-8 м; -2 м), конечное — точка B с координатами (4 м; 3 м). Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из точки А в точку В.

Ответ: Чертёж, соответствующий условию задачи, представлен выше.

Определите перемещение катера АВ.

Дано:

Координаты начальной точки A(-8; -2) м.

Координаты конечной точки B(4; 3) м.

Найти:

Модуль перемещения $|\vec{s}|$.

Решение:

Перемещение $\vec{s}$ — это вектор, проведённый из начальной точки A в конечную точку B. Его проекции на оси координат ($s_x, s_y$) вычисляются как разность соответствующих координат конечной и начальной точек:

$s_x = x_B - x_A = 4 \text{ м} - (-8 \text{ м}) = 12 \text{ м}$

$s_y = y_B - y_A = 3 \text{ м} - (-2 \text{ м}) = 5 \text{ м}$

Модуль вектора перемещения, который представляет собой длину отрезка AB, находится по теореме Пифагора:

$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$

$|\vec{s}| = \sqrt{(12 \text{ м})^2 + (5 \text{ м})^2} = \sqrt{144 \text{ м}^2 + 25 \text{ м}^2} = \sqrt{169 \text{ м}^2} = 13 \text{ м}$

Ответ: Модуль перемещения катера равен 13 м.

Мог ли путь, проделанный катером, быть больше совершённого им перемещения; меньше перемещения; равен перемещению? Ответы обоснуйте.

Сравним путь ($L$), пройденный катером, и модуль его перемещения ($|\vec{s}| = 13$ м). Путь — это длина траектории движения, а модуль перемещения — кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками. В общем случае всегда выполняется соотношение $L \ge |\vec{s}|$.

• Путь больше перемещения: Да, мог. Это произойдет, если траектория движения катера не является прямой линией. Например, катер мог двигаться по кривой, огибая препятствие. В этом случае длина его траектории (путь) будет больше модуля перемещения.
• Путь меньше перемещения: Нет, не мог. Модуль перемещения по определению является кратчайшим расстоянием между начальной и конечной точками. Путь не может быть короче этого расстояния.
• Путь равен перемещению: Да, мог. Это возможно только в том случае, если катер двигался строго по прямой линии из точки А в точку В, не меняя направления.

Ответ: Путь, проделанный катером, мог быть больше перемещения (при криволинейном движении) или равен перемещению (при прямолинейном движении). Путь не мог быть меньше перемещения.

4. Тело движется прямолинейно со скоростью 5 м/с в положительном направлении оси X. Запишите уравнение движения тела, если в момент начала наблюдения его координата равна 3 м.

Дано:

Скорость тела $v_x = 5$ м/с

Начальная координата $x_0 = 3$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Уравнение движения тела $x(t)$.

Решение:

Так как тело движется прямолинейно и с постоянной скоростью, его движение является равномерным. Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения вдоль оси X:

$x(t) = x_0 + v_x \cdot t$

где $x(t)$ — это координата тела в любой момент времени $t$, $x_0$ — начальная координата (координата в момент времени $t=0$), а $v_x$ — проекция скорости на ось X.

Согласно условию задачи, в момент начала наблюдения ($t=0$) координата тела была $x_0 = 3$ м.

Тело движется в положительном направлении оси X, следовательно, проекция его скорости на ось X положительна и равна модулю скорости: $v_x = 5$ м/с.

Подставим значения $x_0$ и $v_x$ в общую формулу уравнения движения:

$x(t) = 3 + 5 \cdot t$

Данное уравнение описывает зависимость координаты тела $x$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах).

Ответ: $x(t) = 3 + 5t$.

5. Два поезда — пассажирский и грузовой — движутся по параллельным путям. Относительно здания вокзала движение пассажирского локомотива описывается уравнением х_п = 260 - 10t (м), а грузового — уравнением х_г = -100 + 8t (м). Через какой промежуток времени от начала наблюдения локомотивы встретились? Какова координата места их встречи?

Дано:

Уравнение движения пассажирского локомотива: $x_п = 260 - 10t$ (м)

Уравнение движения грузового локомотива: $x_г = -100 + 8t$ (м)

Промежуток времени до встречи $t$ — ?

Координата места встречи $x_{встр}$ — ?

В момент встречи координаты локомотивов должны быть одинаковыми, то есть $x_п = x_г$. Это условие позволяет нам найти время встречи.

Приравняем правые части уравнений движения, чтобы найти время встречи $t$:

$260 - 10t = -100 + 8t$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменной $t$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$260 + 100 = 8t + 10t$

$360 = 18t$

Теперь выразим $t$:

$t = \frac{360}{18} = 20$ с

Ответ: локомотивы встретились через 20 с от начала наблюдения.

Чтобы найти координату места встречи, нужно подставить найденное значение времени $t = 20$ с в любое из двух уравнений движения. Подставим в уравнение для пассажирского поезда:

$x_{встр} = 260 - 10 \cdot 20 = 260 - 200 = 60$ м

Для проверки выполним подстановку в уравнение для грузового поезда:

$x_{встр} = -100 + 8 \cdot 20 = -100 + 160 = 60$ м

Результаты совпадают, следовательно, координата встречи найдена верно.

Ответ: координата места их встречи равна 60 м.