Страница 335 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

15. Лыжник скатывается с горы, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением 0,1 м/с². Напишите законы изменения координаты и проекции вектора скорости лыжника, если его начальные координата и скорость равны нулю.

Дано:

Ускорение лыжника $a = 0,1 \text{ м/с}^2$

Начальная координата $x_0 = 0 \text{ м}$

Начальная скорость $v_0 = 0 \text{ м/с}$

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Закон изменения координаты $x(t) - ?$

Закон изменения проекции вектора скорости $v_x(t) - ?$

Решение:

Движение лыжника является прямолинейным и равноускоренным. Выберем одномерную систему отсчета, направив ось $Ox$ по направлению движения лыжника. Начало отсчета совместим с начальным положением лыжника.

Закон изменения координаты. В общем виде закон изменения координаты при прямолинейном равноускоренном движении описывается уравнением: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.В нашем случае начальная координата $x_0 = 0$, начальная скорость $v_0 = 0$, следовательно, ее проекция на ось $Ox$ также равна нулю, $v_{0x} = 0$. Ускорение сонаправлено с осью $Ox$, поэтому его проекция $a_x = a = 0,1 \text{ м/с}^2$.Подставляем данные значения в уравнение:$x(t) = 0 + 0 \cdot t + \frac{0,1 \cdot t^2}{2} = 0,05t^2$

Ответ: закон изменения координаты лыжника: $x(t) = 0,05t^2$.

Закон изменения проекции вектора скорости. В общем виде закон изменения проекции скорости при прямолинейном равноускоренном движении описывается уравнением: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$.Подставляем известные значения $v_{0x} = 0$ и $a_x = 0,1 \text{ м/с}^2$:$v_x(t) = 0 + 0,1 \cdot t = 0,1t$

Ответ: закон изменения проекции вектора скорости лыжника: $v_x(t) = 0,1t$.

16. Велосипедист движется по шоссе прямолинейно со скоростью, модуль которой равен 40 км/ч относительно земли. Параллельно ему движется автомобиль. Что можно сказать о модуле вектора скорости и направлении движения автомобиля относительно земли, если относительно велосипедиста модуль скорости автомобиля равен: а) 0; б) 10 км/ч; в) 40 км/ч; г) 60 км/ ч?

Дано:

Модуль скорости велосипедиста относительно земли $v_в = 40 \text{ км/ч}$.

Движение велосипедиста и автомобиля прямолинейное и параллельное.

Модуль скорости автомобиля относительно велосипедиста $v_{ав}$ принимает значения:

а) $v_{ав} = 0 \text{ км/ч}$

б) $v_{ав} = 10 \text{ км/ч}$

в) $v_{ав} = 40 \text{ км/ч}$

г) $v_{ав} = 60 \text{ км/ч}$

Найти:

Модуль вектора скорости и направление движения автомобиля относительно земли ($v_а$) для каждого случая.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сложения скоростей. Скорость автомобиля относительно неподвижной системы отсчета (земли), $\vec{v}_а$, равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета (велосипедиста) относительно земли, $\vec{v}_в$, и скорости автомобиля относительно подвижной системы отсчета (велосипедиста), $\vec{v}_{ав}$:

$\vec{v}_а = \vec{v}_в + \vec{v}_{ав}$

Поскольку движение происходит вдоль одной прямой, мы можем использовать проекции векторов на ось, направленную по движению велосипедиста. Пусть это будет ось OX. Тогда скорость велосипедиста относительно земли $v_{вx} = v_в = 40 \text{ км/ч}$.

Скорость автомобиля относительно земли в проекции на ось OX будет: $v_{аx} = v_{вx} + v_{авx}$.

Модуль скорости автомобиля относительно велосипедиста $v_{ав}$ дан в условии. Это означает, что $|v_{авx}| = v_{ав}$. Следовательно, возможны два случая: $v_{авx} = v_{ав}$ (автомобиль движется в ту же сторону, что и велосипедист, обгоняя его) или $v_{авx} = -v_{ав}$ (автомобиль движется в противоположную сторону с точки зрения велосипедиста).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $v_{ав} = 0$

Если модуль относительной скорости равен нулю, то $v_{авx} = 0$. Это означает, что автомобиль не движется относительно велосипедиста.

$v_{аx} = v_{вx} + v_{авx} = 40 \text{ км/ч} + 0 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}$.

Скорость автомобиля относительно земли равна 40 км/ч и направлена в ту же сторону, что и скорость велосипедиста.

Ответ: Модуль скорости автомобиля равен 40 км/ч, автомобиль движется в том же направлении, что и велосипедист.

б) $v_{ав} = 10 \text{ км/ч}$

Случай 1: Автомобиль движется в ту же сторону, что и велосипедист. Тогда $v_{авx} = 10 \text{ км/ч}$.

$v_{аx} = 40 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

Случай 2: Автомобиль движется в противоположную сторону относительно велосипедиста. Тогда $v_{авx} = -10 \text{ км/ч}$.

$v_{аx} = 40 \text{ км/ч} + (-10 \text{ км/ч}) = 30 \text{ км/ч}$.

В обоих случаях $v_{аx}$ положителен, значит, автомобиль движется в том же направлении, что и велосипедист.

Ответ: Модуль скорости автомобиля равен 50 км/ч или 30 км/ч. В обоих случаях автомобиль движется в том же направлении, что и велосипедист.

в) $v_{ав} = 40 \text{ км/ч}$

Случай 1: Автомобиль движется в ту же сторону. $v_{авx} = 40 \text{ км/ч}$.

$v_{аx} = 40 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч} = 80 \text{ км/ч}$.

Случай 2: Автомобиль движется в противоположную сторону. $v_{авx} = -40 \text{ км/ч}$.

$v_{аx} = 40 \text{ км/ч} + (-40 \text{ км/ч}) = 0 \text{ км/ч}$.

В этом случае автомобиль неподвижен относительно земли.

Ответ: Модуль скорости автомобиля равен 80 км/ч (движется в том же направлении, что и велосипедист) или 0 км/ч (автомобиль неподвижен).

г) $v_{ав} = 60 \text{ км/ч}$

Случай 1: Автомобиль движется в ту же сторону. $v_{авx} = 60 \text{ км/ч}$.

$v_{аx} = 40 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$.

Случай 2: Автомобиль движется в противоположную сторону. $v_{авx} = -60 \text{ км/ч}$.

$v_{аx} = 40 \text{ км/ч} + (-60 \text{ км/ч}) = -20 \text{ км/ч}$.

Знак минус указывает, что автомобиль движется в направлении, противоположном движению велосипедиста. Модуль его скорости равен $|-20 \text{ км/ч}| = 20 \text{ км/ч}$.

Ответ: Модуль скорости автомобиля равен 100 км/ч (движется в том же направлении, что и велосипедист) или 20 км/ч (движется в противоположном направлении).

17. Скорость катера относительно воды в реке в 5 раз больше скорости течения воды относительно берега. Рассматривая движение катера относительно берега, определите, во сколько раз быстрее катер движется по течению, чем против него.

Дано:

Пусть $v_{к.в.}$ — скорость катера относительно воды (собственная скорость), а $v_{т}$ — скорость течения воды относительно берега.

По условию задачи: $v_{к.в.} = 5 \cdot v_{т}$.

Найти:

Отношение скорости катера относительно берега при движении по течению ($v_{по}$) к его скорости при движении против течения ($v_{против}$), то есть $\frac{v_{по}}{v_{против}}$.

Решение:

Согласно закону сложения скоростей, скорость катера относительно берега при движении по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{к.в.} + v_{т}$

Скорость катера относительно берега при движении против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_{к.в.} - v_{т}$

Теперь подставим в эти выражения данное из условия соотношение $v_{к.в.} = 5 \cdot v_{т}$.

Для скорости по течению получим:

$v_{по} = 5 \cdot v_{т} + v_{т} = 6 \cdot v_{т}$

Для скорости против течения получим:

$v_{против} = 5 \cdot v_{т} - v_{т} = 4 \cdot v_{т}$

Чтобы определить, во сколько раз быстрее катер движется по течению, чем против него, найдем отношение этих скоростей:

$\frac{v_{по}}{v_{против}} = \frac{6 \cdot v_{т}}{4 \cdot v_{т}}$

Величина скорости течения $v_{т}$ сокращается:

$\frac{v_{по}}{v_{против}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, катер движется по течению в 1,5 раза быстрее, чем против течения.

Ответ: в 1,5 раза.

18. На тело действуют три силы: F₁ = 2 Н, F₂ = 5 Н и F₃ = 2 Н (рис. 223, а). С направлением какого из векторов (рис. 223, б) совпадает направление равнодействующей сил; ускорения тела?

Дано:

$F_1 = 2$ Н

$F_2 = 5$ Н

$F_3 = 2$ Н

Направления сил показаны на рис. 223, а.

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

С направлением какого из векторов 1, 2, 3, 4 (рис. 223, б) совпадает направление равнодействующей сил и ускорения тела.

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех сил, действующих на тело:

$\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$

Для нахождения суммы векторов введем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо. Точку приложения сил примем за начало координат (0,0). Из рисунка 223, а, видно, что длина векторов в клетках соответствует модулю силы в Ньютонах (например, сила $F_1 = 2$ Н занимает 2 клетки). Таким образом, масштаб сетки составляет 1 Н на одну клетку.

Найдем проекции сил на оси координат:

Проекции силы $\vec{F}_1$: $F_{1x} = 0$ Н, $F_{1y} = 2$ Н.

Проекции силы $\vec{F}_2$: $F_{2x} = 0$ Н, $F_{2y} = -5$ Н.

Проекции силы $\vec{F}_3$: $F_{3x} = 2$ Н, $F_{3y} = 0$ Н.

Теперь найдем проекции равнодействующей силы $\vec{R}$ на оси координат, сложив соответствующие проекции составляющих сил:

$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 + 0 + 2 = 2$ Н

$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 2 + (-5) + 0 = -3$ Н

Таким образом, вектор равнодействующей силы имеет координаты $\vec{R} = (2; -3)$ Н. Это означает, что вектор направлен на 2 клетки вправо и на 3 клетки вниз от точки приложения сил.

Направление равнодействующей сил

Сравним полученный вектор $\vec{R}$ с векторами на рисунке 223, б. Проанализируем координаты конечных точек векторов на этом рисунке, считая, что они начинаются в точке (0,0):

Вектор 1 имеет координаты (1; 3).

Вектор 2 имеет координаты (2; 2).

Вектор 3 имеет координаты (2; -3).

Вектор 4 имеет координаты (1; -4).

Координаты вектора равнодействующей силы $\vec{R} = (2; -3)$ полностью совпадают с координатами вектора 3.

Ответ: Направление равнодействующей сил совпадает с направлением вектора 3.

Направление ускорения тела

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила, действующая на тело, связана с его ускорением $\vec{a}$ соотношением:

$\vec{R} = m \cdot \vec{a}$

где $m$ – масса тела. Поскольку масса $m$ является положительной скалярной величиной, вектор ускорения $\vec{a}$ всегда сонаправлен с вектором равнодействующей силы $\vec{R}$. Следовательно, направление ускорения тела также совпадает с направлением вектора 3.

Ответ: Направление ускорения тела совпадает с направлением вектора 3.

19. Брусок массой m = 200 г движется по горизонтальной поверхности стола под действием силы F = 2 Н, направленной под углом 60° к горизонту (рис. 224). Чему равно ускорение бруска? Трение пренебрежимо мало.

Дано:

$m = 200$ г

$F = 2$ Н

$\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$m = 0.2$ кг

Найти:

$a$ — ?

Решение:

Для определения ускорения бруска воспользуемся вторым законом Ньютона. Согласно этому закону, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

На брусок действуют следующие силы: приложенная сила $\vec{F}$, сила тяжести $m\vec{g}$ (направлена вертикально вниз) и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (направлена вертикально вверх). В задаче указано, что трением можно пренебречь.

Выберем систему координат, как показано на рисунке: ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси.

Так как брусок движется по горизонтальной поверхности, его ускорение направлено вдоль оси $OX$. Следовательно, проекция ускорения на ось $OY$ равна нулю ($a_y=0$), а на ось $OX$ равна $a_x=a$.

Проекция на ось $OX$: На этой оси действует только горизонтальная составляющая силы $\vec{F}$. Силы $m\vec{g}$ и $\vec{N}$ перпендикулярны оси $OX$, и их проекции равны нулю. Горизонтальная составляющая силы $\vec{F}$ равна $F_x = F \cos \alpha$.

Таким образом, уравнение движения для оси $OX$ имеет вид: $F \cos \alpha = ma$.

Из этого уравнения выражаем искомое ускорение $a$: $a = \frac{F \cos \alpha}{m}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу: $a = \frac{2 \text{ Н} \cdot \cos 60^\circ}{0.2 \text{ кг}} = \frac{2 \cdot 0.5}{0.2} = \frac{1}{0.2} = 5 \text{ м/с}^2$.

Ответ: ускорение бруска равно $5$ м/с².

20. Мальчик держит в руках шарик массой 3,87 г и объёмом 3 • 10^-3 м³. Что произойдёт с этим шариком, если его выпустить из рук?

Дано:

Масса шарика $m = 3,87$ г

Объём шарика $V = 3 \cdot 10^{-3}$ м$^3$

Плотность воздуха $\rho_{\text{возд}} \approx 1,29$ кг/м$^3$ (справочное значение при нормальных условиях)

Перевод в систему СИ:

$m = 3,87 \text{ г} = 3,87 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

Что произойдёт с шариком?

Решение:

Для того чтобы определить, как поведёт себя шарик в воздухе, необходимо сравнить его среднюю плотность с плотностью воздуха. Поведение тела в жидкости или газе определяется соотношением силы тяжести, действующей на тело, и выталкивающей силы (силы Архимеда). Это сравнение эквивалентно сравнению плотности тела с плотностью среды.

Если плотность шарика $\rho_{\text{ш}}$ больше плотности воздуха $\rho_{\text{возд}}$, шарик будет опускаться. Если плотность шарика меньше плотности воздуха, он будет подниматься. Если их плотности равны, шарик будет находиться в равновесии (плавать) в толще воздуха.

Вычислим плотность шарика по формуле:

$\rho_{\text{ш}} = \frac{m}{V}$

Подставим значения массы (предварительно переведенной в кг) и объёма:

$\rho_{\text{ш}} = \frac{3,87 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = \frac{3,87}{3} \text{ кг/м}^3 = 1,29 \text{ кг/м}^3$

Теперь сравним полученную плотность шарика со справочным значением плотности воздуха:

$\rho_{\text{ш}} = 1,29 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{\text{возд}} \approx 1,29 \text{ кг/м}^3$

Так как плотность шарика равна плотности воздуха ($\rho_{\text{ш}} \approx \rho_{\text{возд}}$), то сила тяжести, действующая на шарик, уравновешивается выталкивающей силой со стороны воздуха. Следовательно, если выпустить шарик, он будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

Ответ: Если выпустить шарик из рук, он останется висеть в воздухе на той же высоте (будет плавать в воздухе), так как его плотность равна плотности воздуха.

21. Стальной шар равномерно катится по горизонтальной поверхности и сталкивается с неподвижным алюминиевым шаром, в результате чего алюминиевый шар получает некоторое ускорение. Может ли при этом модуль ускорения стального шара быть равен нулю; быть больше или меньше ускорения алюминиевого шара? Ответы обоснуйте.

Решение

Рассмотрим взаимодействие стального и алюминиевого шаров в момент столкновения. Обозначим массу стального шара как $m_с$, а массу алюминиевого шара — как $m_а$. Модули ускорений шаров во время столкновения обозначим как $a_с$ и $a_а$ соответственно.

Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми шары действуют друг на друга во время столкновения, равны по модулю и противоположны по направлению. Обозначим модуль этой силы взаимодействия как $F$.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение каждого шара связано с действующей на него силой и его массой:

Для алюминиевого шара: $F = m_а \cdot a_а$

Для стального шара: $F = m_с \cdot a_с$

Из этих соотношений следует равенство: $m_а \cdot a_а = m_с \cdot a_с$.

Плотность стали ($\rho_с$) больше плотности алюминия ($\rho_а$). Если предположить, что шары имеют одинаковый объем $V$ (что является стандартным допущением в таких задачах, если не указано иное), то их массы ($m = \rho V$) будут находиться в том же соотношении. Следовательно, масса стального шара больше массы алюминиевого: $m_с > m_а$.

Может ли при этом модуль ускорения стального шара быть равен нулю?

Во время столкновения на стальной шар действует сила со стороны алюминиевого шара. В условии сказано, что алюминиевый шар получает некоторое ускорение ($a_а > 0$), это означает, что на него действовала ненулевая сила $F > 0$. Согласно третьему закону Ньютона, на стальной шар действовала такая же по модулю, но противоположно направленная сила. Поскольку на стальной шар действует ненулевая сила ($F > 0$) и его масса также не равна нулю ($m_с > 0$), его ускорение, согласно второму закону Ньютона ($a_с = F/m_с$), не может быть равно нулю.

Ответ: нет, модуль ускорения стального шара не может быть равен нулю, так как во время столкновения на него действует ненулевая сила со стороны алюминиевого шара.

Может ли модуль ускорения стального шара быть больше или меньше ускорения алюминиевого шара?

Рассмотрим соотношение модулей ускорений, которое мы получили из законов Ньютона: $m_с a_с = m_а a_а$. Выразим отсюда отношение модулей ускорений:

$\frac{a_с}{a_а} = \frac{m_а}{m_с}$

Как было установлено ранее, масса стального шара больше массы алюминиевого шара ($m_с > m_а$). Следовательно, отношение масс $\frac{m_а}{m_с}$ будет меньше единицы:

$\frac{m_а}{m_с} < 1$

Из этого следует, что $\frac{a_с}{a_а} < 1$, то есть $a_с < a_а$.

Таким образом, модуль ускорения стального шара должен быть меньше модуля ускорения алюминиевого шара. Следовательно, он не может быть ему равен или быть больше него.

Ответ: модуль ускорения стального шара может быть меньше ускорения алюминиевого шара, но не может быть больше. Это следует из того, что при равных по модулю силах взаимодействия тело с большей массой (стальной шар) получает меньшее ускорение.

22. Пусть М₃ и R₃ — соответственно масса и радиус земного шара, g₀ — ускорение свободного падения на поверхности Земли, а g — на высоте h. Исходя из формул

Дано:

$M_З$ — масса Земли,

$R_З$ — радиус Земли,

$g_0$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли,

$g$ — ускорение свободного падения на высоте $h$ над поверхностью Земли.

Исходные формулы:

1) Ускорение свободного падения на высоте $h$: $g = \frac{GM_З}{(R_З + h)^2}$

2) Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 = \frac{GM_З}{R_З^2}$

Найти:

Вывести формулу: $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Решение:

Для вывода искомой формулы воспользуемся двумя данными нам уравнениями.

Первое уравнение описывает ускорение свободного падения $g_0$ на поверхности Земли (то есть при $h = 0$): $$ g_0 = \frac{GM_З}{R_З^2} $$ Из этой формулы мы можем выразить произведение гравитационной постоянной $G$ на массу Земли $M_З$. Для этого умножим обе части уравнения на $R_З^2$: $$ GM_З = g_0 R_З^2 $$

Второе уравнение описывает ускорение свободного падения $g$ на некоторой высоте $h$ над поверхностью Земли: $$ g = \frac{GM_З}{(R_З + h)^2} $$ Теперь подставим в это уравнение выражение для $GM_З$, которое мы получили на предыдущем шаге: $$ g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2} $$

Таким образом, мы получили требуемую формулу, которая показывает, как ускорение свободного падения изменяется с высотой, используя известные значения ускорения на поверхности и радиуса Земли.

Ответ: Искомая формула $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$ выведена путем выражения произведения $GM_З$ из формулы для $g_0$ и его последующей подстановки в формулу для $g$.