Страница 338 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

45. Увеличили или уменьшили длину маятника, если: а) период его колебаний сначала был 0,3 с, а после изменения длины стал 0,1 с; б) частота его колебаний вначале была равна 5 Гц, а потом уменьшилась до 3 Гц?

а) Дано:

Начальный период колебаний $T_1 = 0,3 \text{ с}$

Конечный период колебаний $T_2 = 0,1 \text{ с}$

Найти:

Увеличили или уменьшили длину маятника.

Решение:

Период колебаний математического маятника $T$ определяется по формуле Томсона: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Из этой формулы можно выразить длину маятника $l$: $T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} \Rightarrow l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$.

Как видно из полученного выражения, длина маятника $l$ прямо пропорциональна квадрату периода его колебаний ($l \propto T^2$). Это означает, что при увеличении периода длина маятника увеличивается, а при уменьшении периода — уменьшается.

Сравним начальный и конечный периоды: $T_1 = 0,3 \text{ с}$ и $T_2 = 0,1 \text{ с}$. Поскольку $0,1 \text{ с} < 0,3 \text{ с}$, то есть $T_2 < T_1$, период колебаний маятника уменьшился. Следовательно, его длину также уменьшили.

Ответ: длину маятника уменьшили.

б) Дано:

Начальная частота колебаний $\nu_1 = 5 \text{ Гц}$

Конечная частота колебаний $\nu_2 = 3 \text{ Гц}$

Найти:

Увеличили или уменьшили длину маятника.

Решение:

Частота колебаний $\nu$ связана с периодом $T$ соотношением $\nu = \frac{1}{T}$. Используя формулу для периода $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, найдем зависимость длины маятника от частоты. $l = \frac{g T^2}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2} \left(\frac{1}{\nu}\right)^2 = \frac{g}{4\pi^2 \nu^2}$.

Как видно из полученного выражения, длина маятника $l$ обратно пропорциональна квадрату частоты его колебаний ($l \propto \frac{1}{\nu^2}$). Это означает, что при увеличении частоты длина маятника уменьшается, а при уменьшении частоты — увеличивается.

Сравним начальную и конечную частоты: $\nu_1 = 5 \text{ Гц}$ и $\nu_2 = 3 \text{ Гц}$. Поскольку $3 \text{ Гц} < 5 \text{ Гц}$, то есть $\nu_2 < \nu_1$, частота колебаний маятника уменьшилась. Следовательно, его длину увеличили.

Ответ: длину маятника увеличили.

46. Как изменится период колебаний маятника при увеличении длины его нити в 4 раза?

Дано:

Начальная длина нити маятника — $l_1$.

Конечная длина нити маятника — $l_2$.

Соотношение длин: $l_2 = 4l_1$.

Найти:

Во сколько раз изменится период колебаний, то есть найти отношение $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ где $l$ — длина нити маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Для начального состояния с длиной нити $l_1$ период колебаний $T_1$ равен: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

Для конечного состояния, когда длина нити увеличилась в 4 раза и стала $l_2 = 4l_1$, новый период колебаний $T_2$ будет равен: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{4l_1}{g}}$

Чтобы найти, как изменился период, найдем отношение нового периода $T_2$ к начальному $T_1$: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{4l_1}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}}$

Сократим одинаковые множители $2\pi$ и воспользуемся свойством корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{4l_1}}{\sqrt{g}} \cdot \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{l_1}} = \frac{\sqrt{4l_1}}{\sqrt{l_1}} = \sqrt{\frac{4l_1}{l_1}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, $T_2 = 2T_1$. Это означает, что период колебаний увеличился в 2 раза.

Ответ: период колебаний маятника увеличится в 2 раза.

47. Как добиться звучания одного из двух одинаковых камертонов на резонаторных ящиках, не дотрагиваясь до него? Как при этом следует расположить отверстия резонаторных ящиков по отношению друг к другу? Ответы поясните.

Какое физическое явление лежит в основе данного опыта?

Как добиться звучания одного из двух одинаковых камертонов на резонаторных ящиках, не дотрагиваясь до него?

Для этого необходимо взять два одинаковых камертона, установленных на резонаторных ящиках. По одному из камертонов (назовем его первым) нужно ударить специальным молоточком, чтобы он начал колебаться и издавать звук. Колебания первого камертона создадут в окружающем воздухе звуковые волны, которые, распространяясь, достигнут второго камертона. Спустя короткое время второй камертон, до которого не дотрагивались, тоже начнет звучать. Чтобы отчетливо услышать звук второго камертона, можно прикоснуться рукой к первому и заглушить его колебания.

Ответ: Нужно заставить звучать один камертон (например, ударив по нему молоточком); его звуковые волны вызовут колебания второго, идентичного ему камертона, который тоже начнет звучать.

Как при этом следует расположить отверстия резонаторных ящиков по отношению друг к другу?

Резонаторные ящики необходимы для усиления звука, создаваемого камертонами. Когда ветви камертона колеблются, они вызывают колебания воздуха внутри ящика. Эти колебания усиливаются, и из отверстия ящика выходит звук значительно большей интенсивности. Для наиболее эффективной передачи энергии от звучащего камертона к "принимающему", их следует поставить на некотором расстоянии друг от друга так, чтобы отверстия их резонаторных ящиков были направлены друг на друга. При таком расположении звуковые волны от первого камертона оказывают максимальное воздействие на второй камертон и воздух в его резонаторном ящике.

Ответ: Отверстия резонаторных ящиков следует расположить так, чтобы они смотрели друг на друга.

Какое физическое явление лежит в основе данного опыта?

В основе данного опыта лежит физическое явление акустического резонанса. Звучащий первый камертон является источником звуковых волн — периодических колебаний среды. Эти волны действуют на второй камертон как внешняя периодическая сила. Поскольку по условию камертоны одинаковые, их собственные частоты колебаний равны. Явление резонанса заключается в резком увеличении амплитуды вынужденных колебаний системы, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой этой системы. В данном случае частота звуковой волны от первого камертона совпадает с собственной частотой второго камертона, что приводит к его "раскачиванию" до амплитуд, достаточных для слышимого звучания.

Ответ: В основе данного опыта лежит явление резонанса.

48. Качели периодически подталкивают рукой, т. е. действуют на них вынуждающей силой. На рисунке 228 приведён график зависимости амплитуды установившихся колебаний качелей от частоты вынуждающей силы.

а) При какой частоте воздействия на качели — 1 Гц или 3 Гц — амплитуда их установившихся колебаний будет больше?

б) С какой частотой надо подталкивать качели, чтобы амплитуда их установившихся колебаний достигла наибольшего значения?

в) Чему равна собственная частота качелей? На основании какого физического закона вы определили собственную частоту?

Решение

На представленном графике (Рис. 228) показана зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний качелей $A$ от частоты вынуждающей силы $ν$. Такой график называется резонансной кривой и описывает явление резонанса.

а) При какой частоте воздействия на качели — 1 Гц или 3 Гц — амплитуда их установившихся колебаний будет больше?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить по графику значения амплитуды для каждой из указанных частот.

Находим на горизонтальной оси значение частоты $ν_1 = 1 \text{ Гц}$. Поднимаемся вертикально до пересечения с кривой и затем движемся горизонтально к вертикальной оси амплитуд. Значение амплитуды составляет $A_1 = 0,3 \text{ м}$.

Проделываем то же самое для частоты $ν_2 = 3 \text{ Гц}$. Соответствующее значение амплитуды на графике также равно $A_2 = 0,3 \text{ м}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $A_1 = A_2$. Следовательно, амплитуды колебаний при этих частотах равны.

Ответ: Амплитуды установившихся колебаний при частотах 1 Гц и 3 Гц равны.

б) С какой частотой надо подталкивать качели, чтобы амплитуда их установившихся колебаний достигла наибольшего значения?

Наибольшее значение амплитуды колебаний соответствует пику (вершине) резонансной кривой на графике. Эта точка соответствует явлению резонанса.

Из графика видно, что максимальная амплитуда $A_{\text{max}} = 0,6 \text{ м}$ достигается при частоте вынуждающей силы, равной $ν_{\text{рез}} = 2 \text{ Гц}$.

Ответ: Чтобы амплитуда колебаний достигла наибольшего значения, качели надо подталкивать с частотой 2 Гц.

в) Чему равна собственная частота качелей? На основании какого физического закона вы определили собственную частоту?

Собственная частота колебательной системы ($ν_0$) — это частота, с которой система совершает свободные колебания. Явление, при котором амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, когда частота вынуждающей силы ($ν$) приближается к собственной частоте системы ($ν_0$), называется резонансом.

Максимум амплитуды на графике (резонансный пик) наблюдается при резонансной частоте, которая для систем с небольшим затуханием (как в данном случае) практически равна собственной частоте колебаний. Как было определено в пункте б), резонансная частота равна 2 Гц.

Следовательно, собственная частота качелей равна резонансной частоте.

Ответ: Собственная частота качелей равна 2 Гц. Эта частота определена на основании явления резонанса, которое гласит, что амплитуда вынужденных колебаний максимальна, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы.

49. Сделайте чертёж и изобразите на нём тени и полутени от мяча, освещённого двумя точечными источниками света S₁ и S₂.

Сделайте чертёж и изобразите на нём тени и полутени от мяча, освещённого двумя точечными источниками света S₁ и S₂.

Решение:

Для того чтобы построить тень и полутень от мяча, освещенного двумя точечными источниками света (S₁ и S₂), необходимо рассмотреть, как каждый источник света по отдельности создает тень, а затем объединить эти области.

От каждого источника света, S₁ и S₂, проведем лучи, касательные к поверхности мяча. Эти лучи образуют конусы, внутри которых свет от соответствующего источника не распространяется. На экране за мячом образуются области тени, куда не попадает свет от S₁ и S₂ соответственно.

Когда оба источника включены, на экране образуется сложная теневая картина, состоящая из следующих областей:

1. Полная тень (или просто тень): это область на экране, куда не попадает свет ни от источника S₁, ни от источника S₂. Она представляет собой область пересечения (наложения) двух отдельных теней. Это самая темная часть.

2. Полутень: это область, которая освещается только одним из двух источников света. Она состоит из двух частей: область тени от S₁, куда попадает свет от S₂, и область тени от S₂, куда попадает свет от S₁. Полутень темнее полностью освещенной поверхности, но светлее области полной тени.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий данное явление. На чертеже схематически показаны источники света S₁ и S₂, мяч, а также области тени и полутени, образующиеся на экране.

Ответ:

Чертёж с областями тени и полутени представлен выше. Тень — это область, не освещенная ни одним источником, которая образуется в месте пересечения теней от каждого источника. Полутень — это область, освещенная только одним из двух источников.

50. Тень от штанги футбольных ворот утром и вечером длиннее, чем днём. Меняется ли в течение дня длина тени от перекладины ворот?

Решение

Длина тени, отбрасываемой объектом, зависит от его размеров, ориентации в пространстве и от угла падения солнечных лучей, который меняется в течение дня из-за вращения Земли.

В задаче говорится, что тень от штанги (вертикального столба) ворот утром и вечером длиннее, чем днём. Это совершенно верно. Штанга расположена вертикально, а земля — горизонтально. Длина её тени $L_{штанги}$ связана с высотой штанги $h$ и углом высоты Солнца над горизонтом $\alpha$ следующим соотношением: $L_{штанги} = \frac{h}{\tan(\alpha)}$ Утром и вечером Солнце стоит низко, угол $\alpha$ мал, поэтому значение $\tan(\alpha)$ тоже мало, а длина тени $L_{штанги}$ велика. В полдень Солнце находится в наивысшей точке, угол $\alpha$ максимален, и тень, соответственно, самая короткая.

Теперь рассмотрим перекладину. Перекладина ворот представляет собой горизонтальный стержень, то есть она параллельна поверхности земли, на которую падает тень. Поскольку Солнце находится на очень большом расстоянии от Земли, его лучи можно считать параллельными друг другу. Когда объект проецируется параллельными лучами на плоскость, параллельную самому объекту, длина проекции (тени) равна длине самого объекта.

Следовательно, длина тени от горизонтальной перекладины на горизонтальной поверхности земли будет всегда равна длине самой перекладины. В течение дня меняется положение и направление этой тени на поле, но её длина остаётся постоянной.

Ответ: нет, длина тени от перекладины ворот в течение дня не меняется.

51. Девочка стоит перед плоским зеркалом на расстоянии 0,5 м от него. Чему будет равно расстояние между ней и её изображением, если девочка отступит на 1 м дальше от зеркала?

Дано:

Начальное расстояние от девочки до зеркала: $d_1 = 0,5 \text{ м}$

Расстояние, на которое девочка отступила: $\Delta d = 1 \text{ м}$

Данные в задаче приведены в системе СИ, перевод единиц не требуется.

Найти:

Конечное расстояние между девочкой и её изображением — $L$.

Решение:

Изображение предмета в плоском зеркале является мнимым и находится за зеркалом на таком же расстоянии, на каком предмет расположен перед зеркалом.

1. Сначала найдем новое расстояние от девочки до зеркала ($d_2$). Изначально она находилась на расстоянии $d_1$ и отступила назад на расстояние $\Delta d$. Таким образом, новое расстояние до зеркала будет суммой этих расстояний:

$d_2 = d_1 + \Delta d$

$d_2 = 0,5 \text{ м} + 1 \text{ м} = 1,5 \text{ м}$

2. Теперь девочка находится на расстоянии $1,5 \text{ м}$ от плоского зеркала. Согласно свойствам плоских зеркал, её изображение будет находиться на таком же расстоянии ($1,5 \text{ м}$) за зеркалом.

3. Расстояние $L$ между девочкой и её изображением равно сумме расстояния от девочки до зеркала ($d_2$) и расстояния от зеркала до изображения ($d_2$):

$L = d_2 + d_2 = 2 \cdot d_2$

Подставим вычисленное значение $d_2$ в формулу:

$L = 2 \cdot 1,5 \text{ м} = 3 \text{ м}$

Ответ: расстояние между девочкой и её изображением станет равным 3 м.

52. Как представляется точка, находящаяся над поверхностью воды, для глаза, смотрящего из воды, — приближённой к поверхности или удалённой? Ответ поясните чертежом.

Для глаза, смотрящего из воды, точка, находящаяся над поверхностью, будет казаться расположенной дальше от поверхности, чем она есть на самом деле.

Это явление объясняется преломлением света на границе двух сред: воздуха и воды. Показатель преломления воды ($n_{воды} \approx 1,33$) больше показателя преломления воздуха ($n_{воздуха} \approx 1$), то есть вода является оптически более плотной средой.

Согласно закону преломления света, лучи, идущие от точечного источника S в воздухе, при переходе в воду изменяют своё направление. Так как свет переходит из оптически менее плотной среды в более плотную ($n_{воздуха} < n_{воды}$), угол падения $\alpha$ оказывается больше угла преломления $\beta$ ($\alpha > \beta$). Это означает, что лучи света в воде распространяются под меньшим углом к нормали (перпендикуляру к поверхности), чем в воздухе.

Человеческий глаз и мозг воспринимают положение объекта, мысленно продолжая прямолинейно лучи, попавшие в глаз. Из-за преломления продолжения лучей, пришедших в глаз наблюдателя из-под воды, пересекутся в точке S', которая находится выше (дальше от поверхности), чем реальное положение источника S. Таким образом, наблюдателю кажется, что объект удалён от поверхности воды на большее расстояние.

Ответ: Точка, находящаяся над поверхностью воды, для глаза, смотрящего из воды, представляется более удалённой от поверхности.

53. Может ли угол преломления быть равен углу падения?

Решение

Да, угол преломления может быть равен углу падения. Чтобы понять, когда это возможно, обратимся к закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin{\alpha} = n_2 \sin{\beta}$

где $n_1$ — показатель преломления первой среды, из которой падает свет, $n_2$ — показатель преломления второй среды, $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления. Углы отсчитываются от перпендикуляра к границе раздела сред.

Мы ищем условия, при которых $\alpha = \beta$. Подставим это равенство в закон Снеллиуса:

$n_1 \sin{\alpha} = n_2 \sin{\alpha}$

Это уравнение может быть верным в двух случаях:

1. Когда показатели преломления сред одинаковы: $n_1 = n_2$. Если оптические плотности сред равны, то свет, переходя из одной среды в другую, не меняет своего направления. В этом случае угол преломления равен углу падения при любом значении угла $\alpha$. По сути, это означает, что свет движется в однородной среде.

2. Когда угол падения равен нулю: $\alpha = 0^\circ$. Это соответствует случаю, когда световой луч падает перпендикулярно на границу раздела сред. Тогда $\sin{\alpha} = \sin{0^\circ} = 0$. Уравнение принимает вид $n_1 \cdot 0 = n_2 \sin{\beta}$, откуда следует, что $\sin{\beta} = 0$, а значит, и угол преломления $\beta = 0^\circ$. Таким образом, при перпендикулярном падении луч не преломляется, и углы падения и преломления равны ($\alpha = \beta = 0^\circ$) при переходе между любыми двумя средами.

Ответ: Да, угол преломления может быть равен углу падения. Это происходит в двух случаях: 1) когда свет падает на границу раздела двух сред с одинаковыми показателями преломления ($n_1 = n_2$), при этом равенство углов сохраняется для любого угла падения; 2) когда свет падает перпендикулярно границе раздела двух любых сред, в этом случае угол падения и угол преломления равны нулю.

54. Рассеивающая тонкая линза даёт изображение предмета. Как изменится изображение, если половину линзы закрыть непрозрачным экраном?

Решение

Изображение предмета в линзе формируется в результате преломления лучей, исходящих от каждой точки предмета и проходящих через линзу. Каждая точка на поверхности линзы вносит свой вклад в создание изображения. То есть, лучи от одной точки предмета проходят через всю поверхность линзы, а затем собираются (или их продолжения собираются) в одной точке, формируя изображение этой точки.

Рассеивающая линза всегда дает мнимое, прямое и уменьшенное изображение предмета. Положение этого изображения определяется фокусным расстоянием линзы $F$ и расстоянием от предмета до линзы $d$. Это описывается формулой тонкой линзы:

$ - \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = - \frac{1}{F} $

где $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Когда половину линзы закрывают непрозрачным экраном, фокусное расстояние линзы $F$ и расстояние до предмета $d$ не изменяются. Следовательно, согласно формуле, расстояние до изображения $f$ также останется неизменным. Это означает, что положение, размер и ориентация изображения не изменятся. Изображение по-прежнему будет полным.

Однако через линзу пройдет вдвое меньше световых лучей, так как половина из них будет заблокирована экраном. Уменьшение количества света, участвующего в формировании изображения, приведет к тому, что изображение станет менее ярким (более тусклым).

Ответ: Положение, размер и форма изображения не изменятся, но оно станет в два раза менее ярким (тусклым).

55. У какой линзы оптическая сила равна нулю?

Решение

Оптическая сила линзы ($D$) — это физическая величина, характеризующая преломляющую способность линзы. Она является величиной, обратной фокусному расстоянию ($F$):

$D = \frac{1}{F}$

где оптическая сила $D$ измеряется в диоптриях (дптр), а фокусное расстояние $F$ — в метрах (м).

Если оптическая сила линзы равна нулю ($D = 0$), это означает, что её фокусное расстояние бесконечно велико ($F \to \infty$).

$D = \frac{1}{\infty} = 0$

Линза с бесконечным фокусным расстоянием не собирает и не рассеивает параллельные лучи света. После прохождения через такую "линзу" параллельный пучок лучей остается параллельным.

Таким свойством обладает плоскопараллельная пластина — прозрачное тело, ограниченное двумя плоскими и параллельными друг другу поверхностями (например, обычное оконное стекло). Лучи света, проходя через такую пластину, не меняют своего направления, а лишь смещаются параллельно самим себе.

Это также можно подтвердить, используя формулу для оптической силы тонкой линзы:

$D = (n - 1) \cdot (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$

где $n$ — показатель преломления материала линзы относительно окружающей среды, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны её поверхностей.

Оптическая сила $D$ будет равна нулю в двух основных случаях.

Первый случай: показатель преломления материала линзы равен показателю преломления окружающей среды. В этом случае относительный показатель преломления $n = 1$, и $D = (1 - 1) \cdot (\dots) = 0$. Линза становится оптически "невидимой" и не преломляет свет.

Второй случай: выражение в скобках равно нулю, то есть $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = 0$. Это происходит, когда радиусы кривизны поверхностей равны ($R_1 = R_2$). Самый наглядный пример — когда обе поверхности плоские. Для плоской поверхности радиус кривизны считается бесконечным ($R = \infty$). Тогда $\frac{1}{R_1} = 0$ и $\frac{1}{R_2} = 0$. В этом случае формула даёт:

$D = (n - 1) \cdot (0 - 0) = 0$

Тело с двумя плоскими параллельными поверхностями — это и есть плоскопараллельная пластина, которую можно рассматривать как линзу с нулевой оптической силой.

Ответ: оптическая сила равна нулю у плоскопараллельной пластины (например, у обычного оконного стекла), а также у любой линзы, помещенной в среду с таким же показателем преломления, как у материала линзы.

56. Укажите дальнейший ход луча света после прохождения собирающей линзы (рис. 229).

Решение

Для определения дальнейшего хода луча света после прохождения через собирающую линзу необходимо применить одно из правил построения лучей в тонких линзах.

Согласно правилам построения изображений в собирающей линзе:

• Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через её главный фокус.
• Луч, проходящий через оптический центр линзы, не изменяет своего направления.
• Луч, проходящий через главный фокус линзы до преломления, после выхода из линзы распространяется параллельно главной оптической оси.

В данной задаче падающий луч света проходит через передний главный фокус линзы $F$ (точка на главной оптической оси, через которую луч проходит до попадания в линзу). Следовательно, после преломления в собирающей линзе он будет распространяться параллельно главной оптической оси.

На рисунке траектория, параллельная главной оптической оси, обозначена цифрой 3.

Ответ: Дальнейший ход луча света соответствует траектории 3.