Страница 339 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

57. Как следует расположить две собирающие линзы, чтобы параллельный пучок света после прохождения через обе линзы остался параллельным?

Решение

Для того чтобы параллельный пучок света после прохождения через оптическую систему из двух линз остался параллельным, необходимо выполнить определенные условия для каждой линзы.

1. Рассмотрим первую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F_1$. Согласно правилу хода лучей, пучок света, параллельный главной оптической оси, после прохождения через собирающую линзу сходится в ее заднем фокусе. Таким образом, первая линза создает изображение бесконечно удаленного источника (параллельного пучка) в своей фокальной плоскости на расстоянии $F_1$ от своего оптического центра.

2. Рассмотрим вторую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F_2$. Чтобы на выходе из этой линзы получился параллельный пучок света, источник света для нее должен находиться в ее передней фокальной плоскости. То есть лучи, падающие на вторую линзу, должны исходить из точки, расположенной на расстоянии $F_2$ перед ее оптическим центром.

3. Чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно, необходимо, чтобы изображение, созданное первой линзой, служило объектом для второй линзы. Следовательно, место, где первая линза собирает лучи (ее задний фокус), должно совпадать с местом, откуда должны исходить лучи для второй линзы (ее передний фокус).

Это означает, что линзы должны быть расположены так, чтобы их главные оптические оси совпадали (т.е. они должны быть соосны), а задний фокус первой линзы должен совпадать с передним фокусом второй. Расстояние $d$ между оптическими центрами линз при таком расположении будет равно сумме их фокусных расстояний:

$d = F_1 + F_2$

Такая система называется телескопической (в данном случае это схема телескопа Кеплера).

Ответ: Две собирающие линзы следует расположить так, чтобы их главные оптические оси совпадали, а расстояние между их оптическими центрами было равно сумме их фокусных расстояний.

58. Выполняя гимнастику для глаз, человек переводит взгляд с удалённого предмета на метку на оконном стекле. Как при этом меняются фокусное расстояние и оптическая сила хрусталика глаза человека?

Решение

Способность глаза настраиваться на чёткое видение предметов, находящихся на разном расстоянии, называется аккомодацией. Этот процесс происходит благодаря изменению кривизны хрусталика, который в оптической системе глаза играет роль двояковыпуклой линзы.

Когда человек смотрит на удалённый предмет, можно считать, что лучи света от него попадают в глаз параллельным пучком. В этом случае цилиарные мышцы, которые удерживают хрусталик, находятся в расслабленном состоянии. Хрусталик при этом максимально уплощён, что соответствует его наибольшему фокусному расстоянию и, следовательно, наименьшей оптической силе.

При переводе взгляда на близкорасположенный предмет, такой как метка на оконном стекле, цилиарные мышцы напрягаются. Это ослабляет натяжение связок, удерживающих хрусталик, и он, благодаря своей эластичности, становится более выпуклым (его кривизна увеличивается). Увеличение кривизны линзы приводит к уменьшению её фокусного расстояния.

Оптическая сила линзы $D$ и её фокусное расстояние $F$ связаны обратной зависимостью: $D = \frac{1}{F}$. Так как при переводе взгляда на близкий предмет фокусное расстояние хрусталика уменьшается, его оптическая сила, соответственно, увеличивается, чтобы сфокусировать изображение на сетчатке.

Ответ: при переводе взгляда с удалённого предмета на метку на оконном стекле фокусное расстояние хрусталика уменьшается, а его оптическая сила увеличивается.

59. Чему равно фокусное расстояние линзы, оптическая сила которой +2,5 дптр?

Дано:

Оптическая сила линзы $D = +2,5$ дптр

Найти:

Фокусное расстояние $F$

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ и её фокусное расстояние $F$ связаны соотношением:

$D = \frac{1}{F}$

В этой формуле фокусное расстояние $F$ измеряется в метрах (м), а оптическая сила $D$ — в диоптриях (дптр). Единица измерения диоптрия является производной единицей СИ, где $1 \text{ дптр} = 1 \text{ м}^{-1}$, поэтому перевод в СИ не требуется.

Выразим фокусное расстояние из формулы:

$F = \frac{1}{D}$

Подставим в формулу значение оптической силы из условия задачи и вычислим фокусное расстояние:

$F = \frac{1}{2,5 \text{ дптр}} = 0,4 \text{ м}$

Положительный знак оптической силы указывает на то, что линза является собирающей.

Ответ: фокусное расстояние линзы равно $0,4$ м.

60. Какая линза имеет большее фокусное расстояние: оптическая сила которой +1,5 или -3 дптр?

Дано:

Оптическая сила первой линзы, $D_1 = +1,5$ дптр

Оптическая сила второй линзы, $D_2 = -3$ дптр

Найти:

Какая из линз имеет большее фокусное расстояние.

Решение:

Оптическая сила линзы $(D)$ и её фокусное расстояние $(F)$ связаны обратной зависимостью. Формула, связывающая эти две величины, выглядит следующим образом:

$F = \frac{1}{D}$

Здесь фокусное расстояние $F$ измеряется в метрах (м), а оптическая сила $D$ — в диоптриях (дптр), где $1 \text{ дптр} = 1 \text{ м}^{-1}$.

Из формулы следует, что фокусное расстояние по модулю тем больше, чем меньше модуль оптической силы. Знак «+» у оптической силы соответствует собирающей линзе, а знак «–» — рассеивающей. Вопрос о "большем фокусном расстоянии" подразумевает сравнение абсолютных величин (модулей) фокусных расстояний.

Сравним модули оптических сил данных линз:

$|D_1| = |+1,5 \text{ дптр}| = 1,5$ дптр

$|D_2| = |-3 \text{ дптр}| = 3$ дптр

Так как $|D_1| < |D_2|$ ($1,5 < 3$), то для фокусных расстояний будет выполняться обратное соотношение: $|F_1| > |F_2|$.

Для подтверждения найдем фокусные расстояния для каждой линзы.

Фокусное расстояние первой линзы:

$F_1 = \frac{1}{D_1} = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3} \approx +0,67$ м.

Фокусное расстояние второй линзы:

$F_2 = \frac{1}{D_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \approx -0,33$ м.

Сравнивая модули фокусных расстояний, получаем:

$|F_1| \approx 0,67$ м, а $|F_2| \approx 0,33$ м.

Поскольку $0,67 \text{ м} > 0,33 \text{ м}$, то линза с оптической силой $+1,5$ дптр имеет большее фокусное расстояние.

Ответ: большее фокусное расстояние имеет линза с оптической силой $+1,5$ дптр.

61. В камеру Вильсона, помещённую в однородное магнитное поле, влетает электрон и движется по дуге окружности (белая штриховая линия на рисунке 230). Под действием какой силы меняется направление скорости электрона? В какой точке он влетел в камеру?

Под действием какой силы меняется направление скорости электрона?

Направление скорости электрона, как и любой заряженной частицы, движущейся в магнитном поле, меняется под действием силы Лоренца. Эта сила возникает, когда заряженная частица движется в магнитном поле, и она всегда перпендикулярна как вектору скорости частицы $\vec{v}$, так и вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Величина силы Лоренца определяется формулой $F_Л = |q|vB\sin\alpha$, где $q$ — заряд частицы, $v$ — ее скорость, $B$ — индукция магнитного поля, а $\alpha$ — угол между векторами скорости и индукции. Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, она не совершает работы и не изменяет кинетическую энергию (и, следовательно, модуль скорости) частицы, а только искривляет ее траекторию, заставляя двигаться по окружности или спирали.

Ответ: Направление скорости электрона меняется под действием силы Лоренца.

В какой точке он влетел в камеру?

Чтобы определить точку влета, нужно установить направление движения электрона. Направление силы Лоренца, действующей на отрицательно заряженную частицу (электрон), определяется по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы четыре пальца были направлены по вектору скорости электрона $\vec{v}$, а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ (на рисунке обозначен крестиками и направлен вглубь плоскости чертежа) входил в ладонь, то отогнутый на 90 градусов большой палец укажет направление силы Лоренца $\vec{F_Л}$.

Сила Лоренца является центростремительной силой, поэтому она всегда направлена к центру кривизны траектории. Рассмотрим два возможных направления движения.

1. Если электрон движется из точки A в точку B, то в точке A его скорость направлена по касательной вниз. Применяя правило левой руки (четыре пальца вниз, вектор $\vec{B}$ входит в ладонь), получаем, что большой палец указывает вправо. Сила, направленная вправо, будет искривлять траекторию вправо, что полностью соответствует наблюдаемому следу.

2. Если электрон движется из точки B в точку A, то в точке B его скорость направлена по касательной влево. Применяя правило левой руки (четыре пальца влево, вектор $\vec{B}$ входит в ладонь), получаем, что большой палец указывает вниз. Такая сила заставила бы электрон отклоняться вниз, а не вверх к точке A. Это противоречит рисунку.

Следовательно, электрон движется из точки A в точку B. Это также подтверждается тем, что в камере Вильсона частица теряет энергию из-за столкновений с молекулами газа. Радиус траектории заряженной частицы в магнитном поле равен $r = \frac{mv}{|q|B}$. При потере энергии скорость $v$ уменьшается, а значит, уменьшается и радиус кривизны $r$. На рисунке видно, что кривизна траектории вблизи точки B больше (радиус меньше), чем вблизи точки A. Это означает, что частица двигалась от A к B, теряя скорость. Таким образом, электрон влетел в камеру в точке A.

Ответ: Электрон влетел в камеру в точке A.

62. В результате какого радиоактивного распада углерод ¹⁴₆C превращается в азот ¹⁴₇N?

Дано:

Начальное ядро: углерод-14 ($ {}_{6}^{14}\text{C} $)

Конечное ядро: азот-14 ($ {}_{7}^{14}\text{N} $)

Найти:

Тип радиоактивного распада - ?

Решение:

Для определения типа радиоактивного распада запишем уравнение ядерной реакции, где $ {}_{Z}^{A}X $ — неизвестная частица, образующаяся в результате распада:

$ {}_{6}^{14}\text{C} \rightarrow {}_{7}^{14}\text{N} + {}_{Z}^{A}X $

При любом ядерном превращении должны выполняться законы сохранения массового числа (суммарного числа протонов и нейтронов) и зарядового числа (суммарного числа протонов).

1. Закон сохранения массового числа (A):

Сумма массовых чисел до реакции равна сумме массовых чисел после реакции.

$ 14 = 14 + A $

Отсюда находим массовое число неизвестной частицы:

$ A = 14 - 14 = 0 $

2. Закон сохранения зарядового числа (Z):

Сумма зарядовых чисел до реакции равна сумме зарядовых чисел после реакции.

$ 6 = 7 + Z $

Отсюда находим зарядовое число неизвестной частицы:

$ Z = 6 - 7 = -1 $

Таким образом, искомая частица $ {}_{Z}^{A}X $ имеет массовое число $ A = 0 $ и зарядовое число $ Z = -1 $. Этими характеристиками обладает электрон, который в ядерной физике обозначается как $ {}_{-1}^{0}e $ и называется бета-частицей ($ \beta^{-} $).

Следовательно, данный процесс является бета-распадом (точнее, бета-минус-распадом). При этом в ядре один из нейтронов превращается в протон, что приводит к увеличению зарядового числа на единицу ($ 6 \rightarrow 7 $), а массовое число остается неизменным.

Полное уравнение реакции:

$ {}_{6}^{14}\text{C} \rightarrow {}_{7}^{14}\text{N} + {}_{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e $

где $ \bar{\nu}_e $ — электронное антинейтрино.

Ответ: Превращение углерода-14 в азот-14 происходит в результате бета-распада ($ \beta^{-} $-распада).

63. При бомбардировке ядер алюминия ²⁷₁₃Al нейтронами из образовавшегося ядра выбрасывается α-частица. Напишите уравнение этой реакции.

Дано:

Ядро-мишень: алюминий-27 ($_{13}^{27}\text{Al}$)

Бомбардирующая частица: нейтрон ($_{0}^{1}\text{n}$)

Продукт реакции: $\alpha$-частица (ядро гелия, $_{2}^{4}\text{He}$)

Найти:

Уравнение этой реакции.

Решение:

Запишем схему ядерной реакции. Ядро алюминия-27 ($_{13}^{27}\text{Al}$) взаимодействует с нейтроном ($_{0}^{1}\text{n}$). В результате образуется неизвестное ядро, которое мы обозначим как $_{Z}^{A}\text{X}$, и выбрасывается $\alpha$-частица ($_{2}^{4}\text{He}$).

Схема реакции выглядит следующим образом:

$_{13}^{27}\text{Al} + _{0}^{1}\text{n} \rightarrow _{Z}^{A}\text{X} + _{2}^{4}\text{He}$

Для определения неизвестного ядра $_{Z}^{A}\text{X}$ необходимо применить законы сохранения массового и зарядового чисел.

1. Закон сохранения массового числа (A). Сумма массовых чисел (верхних индексов) частиц до реакции должна быть равна сумме массовых чисел частиц после реакции.

$27 + 1 = A + 4$

$28 = A + 4$

Отсюда находим массовое число A:

$A = 28 - 4 = 24$

2. Закон сохранения зарядового числа (Z). Сумма зарядовых чисел (нижних индексов) частиц до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел частиц после реакции.

$13 + 0 = Z + 2$

$13 = Z + 2$

Отсюда находим зарядовое число Z:

$Z = 13 - 2 = 11$

Теперь мы знаем, что образовавшееся ядро имеет массовое число $A=24$ и зарядовое число $Z=11$. По периодической таблице химических элементов Д.И. Менделеева находим, что элемент с порядковым номером 11 — это натрий (Na).

Таким образом, неизвестное ядро — это изотоп натрия $_{11}^{24}\text{Na}$.

Подставляем полученные данные в исходную схему и получаем итоговое уравнение ядерной реакции:

$_{13}^{27}\text{Al} + _{0}^{1}\text{n} \rightarrow _{11}^{24}\text{Na} + _{2}^{4}\text{He}$

Ответ:

$_{13}^{27}\text{Al} + _{0}^{1}\text{n} \rightarrow _{11}^{24}\text{Na} + _{2}^{4}\text{He}$

64. Пользуясь законом сохранения массового и зарядового чисел, заполните пропуск в записи следующей ядерной реакции: ¹⁰₅B + ... → ⁷₃Li + ⁴₂He.

Дано:

Ядерная реакция: ${}_{5}^{10}\text{B} + ... \rightarrow {}_{3}^{7}\text{Li} + {}_{2}^{4}\text{He}$

Найти:

Неизвестную частицу в ядерной реакции.

Решение:

Для того чтобы определить неизвестную частицу в ядерной реакции, необходимо применить законы сохранения массового и зарядового чисел. Пусть искомая частица имеет массовое число $A$ и зарядовое число $Z$, и мы обозначим ее как ${}_{Z}^{A}X$.

Тогда уравнение реакции можно записать в следующем виде:

${}_{5}^{10}\text{B} + {}_{Z}^{A}X \rightarrow {}_{3}^{7}\text{Li} + {}_{2}^{4}\text{He}$

1. Закон сохранения массового числа. Сумма массовых чисел (верхних индексов) частиц до реакции должна быть равна сумме массовых чисел частиц после реакции.

$10 + A = 7 + 4$

$10 + A = 11$

Отсюда находим массовое число $A$ неизвестной частицы:

$A = 11 - 10 = 1$

2. Закон сохранения зарядового числа. Сумма зарядовых чисел (нижних индексов) частиц до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел частиц после реакции.

$5 + Z = 3 + 2$

$5 + Z = 5$

Отсюда находим зарядовое число $Z$ неизвестной частицы:

$Z = 5 - 5 = 0$

Таким образом, неизвестная частица ${}_{Z}^{A}X$ имеет массовое число $A=1$ и зарядовое число $Z=0$. Частица с такими характеристиками — это нейтрон, который обозначается как ${}_{0}^{1}\text{n}$.

Следовательно, полная запись ядерной реакции выглядит так:

${}_{5}^{10}\text{B} + {}_{0}^{1}\text{n} \rightarrow {}_{3}^{7}\text{Li} + {}_{2}^{4}\text{He}$

Ответ: пропущенная частица в ядерной реакции — это нейтрон ${}_{0}^{1}\text{n}$.

65. Какой химический элемент образуется в результате α-распада изотопа урана ²³⁸₉₂U? Запишите эту реакцию.

Дано:

Изотоп урана: $^{238}_{92}\text{U}$

Тип распада: альфа-распад ($\alpha$-распад)

Найти:

Химический элемент, образующийся в результате распада — ?

Уравнение реакции — ?

Решение:

Альфа-распад представляет собой процесс, в ходе которого атомное ядро испускает альфа-частицу. Альфа-частица является ядром атома гелия и обозначается как $^{4}_{2}\text{He}$.

Общее уравнение альфа-распада можно записать в виде:

$^{\text{A}}_{\text{Z}}\text{X} \rightarrow ^{\text{A'}}_{\text{Z'}}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He}$

где $^{\text{A}}_{\text{Z}}\text{X}$ — исходное (материнское) ядро, а $^{\text{A'}}_{\text{Z'}}\text{Y}$ — конечное (дочернее) ядро.

При любой ядерной реакции должны выполняться законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z).

Запишем уравнение для $\alpha$-распада изотопа урана $^{238}_{92}\text{U}$:

$^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{\text{A'}}_{\text{Z'}}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He}$

Применим закон сохранения массового числа (сумма верхних индексов):

$238 = \text{A'} + 4$

$\text{A'} = 238 - 4 = 234$

Применим закон сохранения зарядового числа (сумма нижних индексов):

$92 = \text{Z'} + 2$

$\text{Z'} = 92 - 2 = 90$

Таким образом, в результате распада образуется ядро с массовым числом $\text{A'} = 234$ и зарядовым числом $\text{Z'} = 90$.

Элемент с порядковым номером 90 в периодической таблице Д.И. Менделеева — это торий (Th).

Следовательно, дочерний изотоп — это торий-234 ($^{234}_{90}\text{Th}$).

Итоговое уравнение реакции:

$^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{234}_{90}\text{Th} + ^{4}_{2}\text{He}$

Ответ: в результате $\alpha$-распада изотопа урана $^{238}_{92}\text{U}$ образуется химический элемент торий (Th). Уравнение реакции: $^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{234}_{90}\text{Th} + ^{4}_{2}\text{He}$.

66. В результате какого числа β-распадов ядро атома тория ²³⁴₉₀Th превращается в ядро атома урана ²³⁸₉₂U?

Дано:

Начальное ядро: торий-234 ($^{234}_{90}\text{Th}$)

Конечное ядро: уран-238 ($^{238}_{92}\text{U}$)

Данные представлены в общепринятых обозначениях для ядерной физики, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Число $\beta$-распадов, $N_\beta$

Решение:

$\beta$-распад (бета-минус распад) — это тип радиоактивного распада, при котором один из нейтронов ядра превращается в протон, при этом испускается электрон ($^{0}_{-1}e$) и электронное антинейтрино. Схематически это можно записать так:

$^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow ^{A}_{Z+1}\text{Y} + ^{0}_{-1}e$

Как видно из схемы, при одном $\beta$-распаде массовое число $A$ ядра не изменяется, а зарядовое число (порядковый номер) $Z$ увеличивается на единицу.

Рассмотрим заданное в условии превращение: $^{234}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{238}_{92}\text{U}$.

Сравним массовые и зарядовые числа начального и конечного ядер:

Изменение массового числа: $\Delta A = 238 - 234 = +4$.

Изменение зарядового числа: $\Delta Z = 92 - 90 = +2$.

Поскольку при $\beta$-распаде массовое число не меняется, а в данном превращении оно увеличивается на 4, можно сделать вывод, что такой переход невозможен в результате только $\beta$-распадов (а также $\alpha$-распадов, которые уменьшают массовое число). Увеличение массового числа в результате самопроизвольного распада физически невозможно.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка и конечное ядро — это уран-234 ($^{234}_{92}\text{U}$), а не уран-238. Такое превращение физически возможно, так как массовое число при этом не меняется. Решим задачу с этим исправлением.

Исправленное условие: найти число $\beta$-распадов при превращении $^{234}_{90}\text{Th}$ в $^{234}_{92}\text{U}$.

Пусть произошло $N_\beta$ бета-распадов. Тогда общее изменение зарядового числа будет равно $N_\beta$.

$\Delta Z = Z_{конечное} - Z_{начальное}$

$N_\beta = 92 - 90 = 2$

Следовательно, для такого превращения необходимо два $\beta$-распада. Запишем полную цепочку превращений:

1. Первый $\beta$-распад превращает торий-234 в протактиний-234:

$^{234}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{234}_{91}\text{Pa} + ^{0}_{-1}e$

2. Второй $\beta$-распад превращает протактиний-234 в уран-234:

$^{234}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{234}_{92}\text{U} + ^{0}_{-1}e$

Таким образом, для превращения ядра тория-234 в ядро урана-234 требуется 2 $\beta$-распада.

Ответ:При условии, что в задаче имеется опечатка и конечное ядро — это $^{234}_{92}\text{U}$, для превращения требуется 2 $\beta$-распада. Исходная задача в рамках законов радиоактивного распада решения не имеет.