Страница 336 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

23. Имеются две абсолютно упругие пружины. К первой пружине подвешен груз массой 500 г, а ко второй — 200 г. При этом удлинения пружин оказались равными. Жёсткость какой пружины больше? Во сколько раз?

Дано:

$m_1 = 500 \text{ г}$

$m_2 = 200 \text{ г}$

$x_1 = x_2$

$m_1 = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

$m_2 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

Сравнить жёсткости пружин $k_1$ и $k_2$ и найти их отношение.

Решение:

При подвешивании груза на пружину возникает сила упругости, которая, согласно закону Гука, равна $F_{упр} = kx$, где $k$ — жёсткость пружины, а $x$ — её удлинение. В положении равновесия эта сила уравновешивает силу тяжести, действующую на груз: $F_{тяж} = mg$.

Таким образом, для каждого случая выполняется равенство: $kx = mg$.

Запишем уравнения для обеих пружин, учитывая, что по условию их удлинения одинаковы ($x_1 = x_2 = x$):

Для первой пружины: $k_1 x = m_1 g$

Для второй пружины: $k_2 x = m_2 g$

Жёсткость какой пружины больше?

Из уравнений выше выразим жёсткости пружин: $k_1 = \frac{m_1 g}{x}$ и $k_2 = \frac{m_2 g}{x}$.

Поскольку масса первого груза больше массы второго ($m_1 > m_2$), а удлинение $x$ и ускорение свободного падения $g$ являются одинаковыми для обоих случаев, то для создания такого же удлинения к первой пружине нужно приложить большую силу. Это означает, что первая пружина является более жёсткой.

Математически, так как $m_1 > m_2$, то $\frac{m_1 g}{x} > \frac{m_2 g}{x}$, следовательно, $k_1 > k_2$.

Ответ: Жёсткость первой пружины больше.

Во сколько раз?

Чтобы найти, во сколько раз жёсткость первой пружины больше жёсткости второй, разделим уравнение для первой пружины на уравнение для второй:

$\frac{k_1 x}{k_2 x} = \frac{m_1 g}{m_2 g}$

Сокращая одинаковые переменные ($x$ и $g$) в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{m_1}{m_2}$

Подставим значения масс:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{0.5 \text{ кг}}{0.2 \text{ кг}} = 2.5$

Ответ: В 2.5 раза.

24. Тело массой m₁ = 100 г скользит без трения по горизонтальной плоскости под действием груза массой m₂ = 300 г, связанного с телом нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 225). С каким ускорением движется тело массой m₁?

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г}$

$m_2 = 300 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 0.3 \text{ кг}$

Найти:

$a$ - ?

Решение:

Данная система состоит из двух тел, соединенных невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок. Поскольку нить нерастяжима, оба тела будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $a$. По условию, трение отсутствует.

Для решения задачи применим второй закон Ньютона для каждого из тел. Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось OX горизонтально вправо, по направлению движения тела $m_1$, а ось OY вертикально вниз, по направлению движения тела $m_2$.

Рассмотрим силы, действующие на тело $m_1$. Это сила тяжести $m_1\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. В проекции на ось OX второй закон Ньютона запишется как:

$T = m_1a$ (1)

(Силы, действующие по вертикали, скомпенсированы: $N = m_1g$).

Рассмотрим силы, действующие на тело $m_2$. Это сила тяжести $m_2\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Так как блок идеальный, сила натяжения нити одинакова по всей ее длине. В проекции на ось OY второй закон Ньютона для тела $m_2$ будет иметь вид:

$m_2g - T = m_2a$ (2)

Получили систему из двух линейных уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными: $T$ и $a$. Чтобы найти ускорение $a$, подставим выражение для силы натяжения $T$ из первого уравнения во второе:

$m_2g - m_1a = m_2a$

Сгруппируем слагаемые с ускорением $a$ и выразим его:

$m_2g = m_1a + m_2a$

$m_2g = (m_1 + m_2)a$

$a = \frac{m_2g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Будем считать ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$a = \frac{0.3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.1 \text{ кг} + 0.3 \text{ кг}} = \frac{2.94 \text{ Н}}{0.4 \text{ кг}} = 7.35 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a = 7.35 \text{ м/с}^2$.

25. Мальчик стоит на напольных весах в лифте. Куда и с каким ускорением движется лифт, если весы показывают 33 кг? Известно, что в покоящемся лифте весы показывают 30 кг.

Дано:

$m = 30$ кг (масса мальчика, измеренная в покоящемся лифте)

$m_p = 33$ кг (показания весов в движущемся лифте)

$g \approx 10$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$a$ — ? (ускорение лифта)

Направление ускорения — ?

Решение:

Весы измеряют не массу, а силу, с которой тело на них давит. Эта сила называется весом тела $P$. По третьему закону Ньютона, вес тела равен по модулю силе реакции опоры $N$, действующей на тело со стороны весов ($P = N$). Весы градуированы так, чтобы показывать массу $m_p = N/g$.

1. Когда лифт покоится (или движется равномерно), ускорение $a=0$. На мальчика действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры $N_0$, направленная вверх. Согласно второму закону Ньютона, в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_0 - mg = m \cdot 0$

$N_0 = mg$

В этом случае весы показывают истинную массу мальчика: $m = N_0/g = 30$ кг.

2. Когда лифт движется с ускорением $a$, весы показывают массу $m_p = 33$ кг. Это означает, что сила реакции опоры стала $N = m_p \cdot g$.

Запишем второй закон Ньютона для мальчика в движущемся лифте, по-прежнему направляя ось OY вверх:

$N - mg = ma$

Поскольку показания весов увеличились ($m_p > m$), то и сила реакции опоры увеличилась ($N > N_0$). Из уравнения $N - mg = ma$ следует, что $N > mg$. Это возможно только если произведение $ma$ положительно. Так как масса $m$ всегда положительна, то и ускорение $a$ должно быть положительным. Это означает, что вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и ось OY, то есть вертикально вверх. Лифт может либо разгоняться, двигаясь вверх, либо тормозить, двигаясь вниз. В обоих случаях ускорение направлено вверх.

Теперь найдем величину этого ускорения. Выразим $a$ из уравнения:

$a = \frac{N - mg}{m}$

Подставим $N = m_p g$:

$a = \frac{m_p g - mg}{m} = \frac{g(m_p - m)}{m}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{10 \frac{м}{с^2} \cdot (33 \text{ кг} - 30 \text{ кг})}{30 \text{ кг}} = \frac{10 \cdot 3}{30} \frac{м}{с^2} = \frac{30}{30} \frac{м}{с^2} = 1 \frac{м}{с^2}$

Ответ: лифт движется с ускорением $a = 1$ м/с$^2$, направленным вертикально вверх.

26. Шайбе, находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, сообщают горизонтальную скорость v₀ = 3 м/с. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения шайбы о плоскость μ = 0,3?

Дано:

Начальная скорость шайбы $v_0 = 3$ м/с

Коэффициент трения скольжения $\mu = 0.3$

Конечная скорость шайбы $v = 0$ м/с (поскольку шайба останавливается)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время движения до остановки $t$.

Решение:

На шайбу, движущуюся по горизонтальной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально против направления движения.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Выберем систему координат: ось $OX$ направим по направлению начальной скорости шайбы, а ось $OY$ — перпендикулярно плоскости, вверх. Спроецируем уравнение на оси координат.

Проекция на ось $OY$: $N - mg = 0$, так как по вертикали шайба не движется, и ее ускорение в этой проекции равно нулю. Отсюда следует, что сила нормальной реакции опоры по модулю равна силе тяжести:

$N = mg$

Проекция на ось $OX$: $ma_x = -F_{тр}$. Знак «минус» указывает на то, что сила трения направлена в сторону, противоположную оси $OX$. Здесь $a_x$ — проекция ускорения на ось $OX$.

Сила трения скольжения вычисляется по формуле $F_{тр} = \mu N$. Используя полученное ранее выражение для $N$, получаем:

$F_{тр} = \mu mg$

Теперь подставим это выражение для силы трения в уравнение для проекции на ось $OX$:

$ma_x = -\mu mg$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, найдем проекцию ускорения шайбы:

$a_x = -\mu g$

Знак «минус» подтверждает, что вектор ускорения направлен против начальной скорости, то есть движение является равнозамедленным.

Время движения до полной остановки ($v=0$) можно найти из формулы скорости для равноускоренного движения: $v = v_0 + a_x t$.

Подставим известные значения: конечная скорость $v=0$ и найденное ускорение $a_x = -\mu g$.

$0 = v_0 - \mu g t$

Отсюда выразим время $t$, необходимое для остановки:

$\mu g t = v_0 \implies t = \frac{v_0}{\mu g}$

Для расчетов примем значение ускорения свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$t = \frac{3 \text{ м/с}}{0.3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{3}{3} \text{ с} = 1 \text{ с}$

Ответ: шайба остановится через 1 с.

27. На рисунке 226 изображены равные по массе шарики 1 и 2, привязанные к нитям длиной r и 2r соответственно и движущиеся по окружностям с одинаковой по модулю линейной скоростью v. Сравните центростремительные ускорения, с которыми движутся шарики, их угловые скорости и силы натяжения нитей.

Дано:

Масса первого шарика: $m_1 = m$

Масса второго шарика: $m_2 = m$

Радиус траектории первого шарика: $R_1 = r$

Радиус траектории второго шарика: $R_2 = 2r$

Линейная скорость первого шарика: $v_1 = v$

Линейная скорость второго шарика: $v_2 = v$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения $a_{ц1}$ и $a_{ц2}$

Сравнить угловые скорости $\omega_1$ и $\omega_2$

Сравнить силы натяжения нитей $T_1$ и $T_2$

Решение:

Сравнение центростремительных ускорений

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, определяется по формуле: $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — линейная скорость, а $R$ — радиус окружности.

Для первого шарика центростремительное ускорение равно: $a_{ц1} = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{v^2}{r}$

Для второго шарика центростремительное ускорение равно: $a_{ц2} = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{v^2}{2r}$

Чтобы сравнить ускорения, найдем их отношение: $\frac{a_{ц1}}{a_{ц2}} = \frac{v^2/r}{v^2/(2r)} = \frac{v^2}{r} \cdot \frac{2r}{v^2} = 2$

Следовательно, $a_{ц1} = 2a_{ц2}$.

Ответ: Центростремительное ускорение первого шарика в 2 раза больше, чем центростремительное ускорение второго шарика ($a_{ц1} > a_{ц2}$).

Сравнение угловых скоростей

Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$ соотношением $v = \omega R$. Отсюда $\omega = \frac{v}{R}$.

Для первого шарика угловая скорость равна: $\omega_1 = \frac{v_1}{R_1} = \frac{v}{r}$

Для второго шарика угловая скорость равна: $\omega_2 = \frac{v_2}{R_2} = \frac{v}{2r}$

Найдем отношение угловых скоростей: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{v/r}{v/(2r)} = \frac{v}{r} \cdot \frac{2r}{v} = 2$

Следовательно, $\omega_1 = 2\omega_2$.

Ответ: Угловая скорость первого шарика в 2 раза больше, чем угловая скорость второго шарика ($\omega_1 > \omega_2$).

Сравнение сил натяжения нитей

При движении шарика по окружности в горизонтальной плоскости (как показано на рисунке) единственной силой, направленной к центру, является сила натяжения нити $T$. Эта сила сообщает телу центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона: $T = ma_ц$.

Подставим формулу для центростремительного ускорения $a_ц = \frac{v^2}{R}$: $T = m\frac{v^2}{R}$.

Для первого шарика сила натяжения нити равна: $T_1 = m_1 \frac{v_1^2}{R_1} = m\frac{v^2}{r}$

Для второго шарика сила натяжения нити равна: $T_2 = m_2 \frac{v_2^2}{R_2} = m\frac{v^2}{2r}$

Найдем отношение сил натяжения: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{m v^2/r}{m v^2/(2r)} = \frac{1/r}{1/(2r)} = 2$

Следовательно, $T_1 = 2T_2$.

Ответ: Сила натяжения нити для первого шарика в 2 раза больше, чем для второго шарика ($T_1 > T_2$).

28. Исходя из формулы a_{ц. с} =$\frac{v^2}{r}$ для определения центростремительного ускорения при движении по окружности и формулы g =$\frac{g_0{R^2}_3}{{(R_3+h)}^2}$ выведенной вами при решении задачи 22, получите формулу для расчёта первой космической скорости на высоте h над поверхностью Земли: v = $\sqrt{\frac{g_0{R^2}_3}{R_3+h}}$

Дано:

Формула центростремительного ускорения: $a_{ц.с} = \frac{v^2}{r}$

Формула ускорения свободного падения на высоте $h$ над поверхностью Земли: $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Найти:

Формулу для расчёта первой космической скорости $v$ на высоте $h$: $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите на заданной высоте $h$ над поверхностью планеты. Для того чтобы тело двигалось по круговой орбите, на него должна действовать сила, создающая центростремительное ускорение. В случае спутника Земли такой силой является сила гравитационного притяжения.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В данном случае единственной силой, действующей на спутник, является сила тяжести, которая сообщает ему ускорение свободного падения $g$. Это ускорение и является центростремительным ускорением $a_{ц.с}$ для движения по круговой орбите.

Таким образом, мы можем приравнять ускорение свободного падения на высоте $h$ и центростремительное ускорение:

$a_{ц.с} = g$

Подставим в это равенство данные нам формулы:

$\frac{v^2}{r} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Здесь $r$ — это радиус круговой орбиты. Он равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ над её поверхностью:

$r = R_З + h$

Подставим это выражение для $r$ в нашу формулу:

$\frac{v^2}{R_З + h} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Теперь выразим из этого уравнения скорость $v$. Для этого умножим обе части уравнения на $(R_З + h)$:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2} \cdot (R_З + h)$

Сократим дробь в правой части:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}$

Чтобы найти скорость $v$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Таким образом, мы получили искомую формулу для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ над поверхностью Земли.

Ответ: $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

29. Среднее значение радиуса Земли равно 6400 км, а ускорение свободного падения у земной поверхности 9,8 м/с². Пользуясь только этими данными, вычислите первую космическую скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли.

Дано:

Средний радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g = 9,8 \text{ м/с}^2$

Высота над поверхностью Земли, $h = 3600 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h = 3600 \text{ км} = 3600 \cdot 10^3 \text{ м} = 3,6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость на высоте $h$ — $v_h$.

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите на заданной высоте. Для движения по круговой орбите сила всемирного тяготения должна быть равна центростремительной силе.

Расстояние от центра Земли до спутника на высоте $h$ равно $r = R_З + h$.

Запишем второй закон Ньютона для спутника массой $m$ на орбите:

$F_{ц} = F_{г}$

$\frac{mv_h^2}{R_З+h} = \frac{GMm}{(R_З+h)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли.

Из этого уравнения можно выразить первую космическую скорость на высоте $h$:

$v_h^2 = \frac{GM}{R_З+h} \Rightarrow v_h = \sqrt{\frac{GM}{R_З+h}}$

По условию задачи, мы должны использовать только заданные величины: $R_З$, $g$ и $h$. Выразим произведение $GM$ через $g$ и $R_З$. Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется по формуле:

$g = \frac{GM}{R_З^2}$

Отсюда находим произведение $GM$:

$GM = gR_З^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для $v_h$:

$v_h = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З+h}}$

Это итоговая формула для расчета. Подставим в нее числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ.

Сначала найдем радиус орбиты $r = R_З + h$:

$r = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 3,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 10,0 \cdot 10^6 \text{ м} = 10^7 \text{ м}$

Теперь вычислим скорость:

$v_h = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (6,4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{10^7 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 40,96 \cdot 10^{12}}{10^7}} \text{ м/с}$

$v_h = \sqrt{40,1408 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 6335,67 \text{ м/с}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$v_h \approx 6340 \text{ м/с}$ или $6,34 \text{ км/с}$.

Ответ: первая космическая скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли составляет приблизительно $6340 \text{ м/с}$.

30. Постройте график зависимости проекции вектора скорости от времени для тела, свободно падающего в течение 4 с (v₀ = 0).

Дано:

Время падения, $t = 4 \, с$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \, м/с$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \, м/с^2$

Найти:

Построить график зависимости проекции вектора скорости от времени $v_y(t)$.

Решение:

Свободное падение — это движение тела только под действием силы тяжести, то есть это прямолинейное равноускоренное движение. Зависимость проекции скорости от времени при таком движении описывается уравнением:

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$

где $v_y(t)$ — проекция скорости в момент времени $t$, $v_{0y}$ — проекция начальной скорости, а $a_y$ — проекция ускорения.

Для решения задачи выберем систему координат. Направим ось $OY$ вертикально вниз, а начало отсчета ($y=0$) поместим в точку, из которой тело начинает падение.

В такой системе координат:

• Проекция начальной скорости на ось $OY$ равна нулю, так как по условию тело падает из состояния покоя ($v_0 = 0$), следовательно, $v_{0y} = 0$.
• Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ направлен вертикально вниз, то есть его направление совпадает с направлением оси $OY$. Следовательно, проекция ускорения на ось $OY$ положительна и равна модулю ускорения: $a_y = g \approx 9.8 \, м/с^2$.

Подставим полученные значения в общее уравнение для проекции скорости:

$v_y(t) = 0 + gt = gt$

Полученное уравнение $v_y(t) \approx 9.8t$ является уравнением прямой пропорциональности. Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) этой прямой равен ускорению свободного падения $g$.

Для построения графика на заданном интервале времени от $t_1 = 0 \, с$ до $t_2 = 4 \, с$ достаточно найти координаты двух точек — начальной и конечной.

1. В начальный момент времени $t = 0 \, с$:

   $v_y(0) = 9.8 \cdot 0 = 0 \, м/с$.

   Координаты первой точки на графике: $(0; 0)$.

2. В конечный момент времени $t = 4 \, с$:

   $v_y(4) = 9.8 \, м/с^2 \cdot 4 \, с = 39.2 \, м/с$.

   Координаты второй точки на графике: $(4; 39.2)$.

Таким образом, график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(0; 0)$ и $(4; 39.2)$ в системе координат, где по горизонтальной оси отложено время $t$ в секундах, а по вертикальной — проекция скорости $v_y$ в м/с.

Ответ: График зависимости проекции вектора скорости от времени для тела, свободно падающего в течение 4 с ($v_0 = 0$), представляет собой отрезок прямой линии. При выборе оси $OY$, направленной вертикально вниз, этот отрезок соединяет точку начала координат $(0; 0)$ и точку с координатами $(4; 39.2)$. Уравнение зависимости имеет вид $v_y(t) = gt \approx 9.8t$.

31. Рейка длиной 70 см выдвинута на 25 см за край стола. При этом она не опрокидывается, если к её выступающему концу подвешен груз массой не более 80 г. Чему равна масса рейки?

Дано:

Длина рейки, $L = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

Длина выступающей части, $l_1 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Максимальная масса груза, $m_г = 80 \text{ г} = 0.08 \text{ кг}$

Найти:

Массу рейки, $m_р$.

Решение:

Задача на условие равновесия рычага. Рейка находится в состоянии равновесия, когда моменты сил, вращающих её по часовой стрелке и против часовой стрелки относительно точки опоры, равны. В данном случае точкой опоры (осью вращения) является край стола.

На рейку действуют две силы, создающие вращающие моменты:

1. Сила тяжести подвешенного груза $P_г$, которая приложена к самому краю выступающей части рейки. Эта сила создает вращающий момент $M_1$, стремящийся опрокинуть рейку.

2. Сила тяжести самой рейки $P_р$. Предполагая, что рейка однородна, эта сила приложена к её центру масс (середине). Эта сила создает момент $M_2$, который препятствует опрокидыванию.

Момент силы вычисляется по формуле $M = F \cdot l$, где $F$ – это сила, а $l$ – плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Плечо силы тяжести груза $l_1$ равно длине выступающей части рейки:

$l_1 = 25 \text{ см}$

Момент, создаваемый грузом, равен: $M_1 = P_г \cdot l_1 = m_г \cdot g \cdot l_1$, где $g$ – ускорение свободного падения.

Центр масс однородной рейки находится посередине, на расстоянии $L/2$ от любого из ее концов:

$L/2 = 70 \text{ см} / 2 = 35 \text{ см}$

Плечо силы тяжести рейки $l_2$ – это расстояние от оси вращения (края стола) до центра масс рейки. Так как центр масс находится на расстоянии 35 см от конца, а выступающая часть равна 25 см, то расстояние от края стола до центра масс равно:

$l_2 = L/2 - l_1 = 35 \text{ см} - 25 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Момент, создаваемый весом рейки, равен: $M_2 = P_р \cdot l_2 = m_р \cdot g \cdot l_2$.

Состояние, при котором рейка вот-вот опрокинется (при массе груза 80 г), является состоянием предельного равновесия. В этом состоянии моменты сил, вращающие рейку в противоположных направлениях, равны (правило моментов):

$M_1 = M_2$

$m_г \cdot g \cdot l_1 = m_р \cdot g \cdot l_2$

Ускорение свободного падения $g$ можно сократить:

$m_г \cdot l_1 = m_р \cdot l_2$

Отсюда выражаем искомую массу рейки $m_р$:

$m_р = m_г \cdot \frac{l_1}{l_2}$

Подставим числовые значения. Для расчета можно использовать исходные единицы (граммы и сантиметры), так как единицы длины в дроби сократятся, и результат для массы получится в граммах.

$m_р = 80 \text{ г} \cdot \frac{25 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 80 \cdot 2.5 \text{ г} = 200 \text{ г}$

Ответ: масса рейки равна 200 г.