Номер 29, страница 336 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 29, страница 336.

29. Среднее значение радиуса Земли равно 6400 км, а ускорение свободного падения у земной поверхности 9,8 м/с². Пользуясь только этими данными, вычислите первую космическую скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли.

Дано:

Средний радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g = 9,8 \text{ м/с}^2$

Высота над поверхностью Земли, $h = 3600 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h = 3600 \text{ км} = 3600 \cdot 10^3 \text{ м} = 3,6 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первую космическую скорость на высоте $h$ — $v_h$.

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите на заданной высоте. Для движения по круговой орбите сила всемирного тяготения должна быть равна центростремительной силе.

Расстояние от центра Земли до спутника на высоте $h$ равно $r = R_З + h$.

Запишем второй закон Ньютона для спутника массой $m$ на орбите:

$F_{ц} = F_{г}$

$\frac{mv_h^2}{R_З+h} = \frac{GMm}{(R_З+h)^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли.

Из этого уравнения можно выразить первую космическую скорость на высоте $h$:

$v_h^2 = \frac{GM}{R_З+h} \Rightarrow v_h = \sqrt{\frac{GM}{R_З+h}}$

По условию задачи, мы должны использовать только заданные величины: $R_З$, $g$ и $h$. Выразим произведение $GM$ через $g$ и $R_З$. Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется по формуле:

$g = \frac{GM}{R_З^2}$

Отсюда находим произведение $GM$:

$GM = gR_З^2$

Теперь подставим это выражение в формулу для $v_h$:

$v_h = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З+h}}$

Это итоговая формула для расчета. Подставим в нее числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ.

Сначала найдем радиус орбиты $r = R_З + h$:

$r = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 3,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 10,0 \cdot 10^6 \text{ м} = 10^7 \text{ м}$

Теперь вычислим скорость:

$v_h = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (6,4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{10^7 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 40,96 \cdot 10^{12}}{10^7}} \text{ м/с}$

$v_h = \sqrt{40,1408 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 6335,67 \text{ м/с}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$v_h \approx 6340 \text{ м/с}$ или $6,34 \text{ км/с}$.

Ответ: первая космическая скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли составляет приблизительно $6340 \text{ м/с}$.