Номер 27, страница 336 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 27, страница 336.

27. На рисунке 226 изображены равные по массе шарики 1 и 2, привязанные к нитям длиной r и 2r соответственно и движущиеся по окружностям с одинаковой по модулю линейной скоростью v. Сравните центростремительные ускорения, с которыми движутся шарики, их угловые скорости и силы натяжения нитей.

Дано:

Масса первого шарика: $m_1 = m$

Масса второго шарика: $m_2 = m$

Радиус траектории первого шарика: $R_1 = r$

Радиус траектории второго шарика: $R_2 = 2r$

Линейная скорость первого шарика: $v_1 = v$

Линейная скорость второго шарика: $v_2 = v$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения $a_{ц1}$ и $a_{ц2}$

Сравнить угловые скорости $\omega_1$ и $\omega_2$

Сравнить силы натяжения нитей $T_1$ и $T_2$

Решение:

Сравнение центростремительных ускорений

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, определяется по формуле: $a_ц = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — линейная скорость, а $R$ — радиус окружности.

Для первого шарика центростремительное ускорение равно: $a_{ц1} = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{v^2}{r}$

Для второго шарика центростремительное ускорение равно: $a_{ц2} = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{v^2}{2r}$

Чтобы сравнить ускорения, найдем их отношение: $\frac{a_{ц1}}{a_{ц2}} = \frac{v^2/r}{v^2/(2r)} = \frac{v^2}{r} \cdot \frac{2r}{v^2} = 2$

Следовательно, $a_{ц1} = 2a_{ц2}$.

Ответ: Центростремительное ускорение первого шарика в 2 раза больше, чем центростремительное ускорение второго шарика ($a_{ц1} > a_{ц2}$).

Сравнение угловых скоростей

Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$ соотношением $v = \omega R$. Отсюда $\omega = \frac{v}{R}$.

Для первого шарика угловая скорость равна: $\omega_1 = \frac{v_1}{R_1} = \frac{v}{r}$

Для второго шарика угловая скорость равна: $\omega_2 = \frac{v_2}{R_2} = \frac{v}{2r}$

Найдем отношение угловых скоростей: $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{v/r}{v/(2r)} = \frac{v}{r} \cdot \frac{2r}{v} = 2$

Следовательно, $\omega_1 = 2\omega_2$.

Ответ: Угловая скорость первого шарика в 2 раза больше, чем угловая скорость второго шарика ($\omega_1 > \omega_2$).

Сравнение сил натяжения нитей

При движении шарика по окружности в горизонтальной плоскости (как показано на рисунке) единственной силой, направленной к центру, является сила натяжения нити $T$. Эта сила сообщает телу центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона: $T = ma_ц$.

Подставим формулу для центростремительного ускорения $a_ц = \frac{v^2}{R}$: $T = m\frac{v^2}{R}$.

Для первого шарика сила натяжения нити равна: $T_1 = m_1 \frac{v_1^2}{R_1} = m\frac{v^2}{r}$

Для второго шарика сила натяжения нити равна: $T_2 = m_2 \frac{v_2^2}{R_2} = m\frac{v^2}{2r}$

Найдем отношение сил натяжения: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{m v^2/r}{m v^2/(2r)} = \frac{1/r}{1/(2r)} = 2$

Следовательно, $T_1 = 2T_2$.

Ответ: Сила натяжения нити для первого шарика в 2 раза больше, чем для второго шарика ($T_1 > T_2$).