Номер 34, страница 337 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 34, страница 337.

34. Алюминиевый и медный шарики одинакового объёма свободно падают из состояния покоя с одной и той же высоты в течение 2,5 с. Импульс какого из шариков будет больше и во сколько раз к концу первой секунды падения; к концу второй секунды падения? Ответы обоснуйте.

Дано:

$V_{ал} = V_{м} = V$ (объём шариков одинаков)

$v_0 = 0$ (начальная скорость)

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 2$ с

Справочные данные:

Плотность алюминия: $\rho_{ал} = 2700$ кг/м³

Плотность меди: $\rho_{м} = 8900$ кг/м³ (округленное значение)

Найти:

1. Сравнить импульсы $p_{ал}$ и $p_{м}$ в момент времени $t_1$. Найти отношение $\frac{p_{м}(t_1)}{p_{ал}(t_1)}$.

2. Сравнить импульсы $p_{ал}$ и $p_{м}$ в момент времени $t_2$. Найти отношение $\frac{p_{м}(t_2)}{p_{ал}(t_2)}$.

Решение:

Импульс тела (или количество движения) вычисляется по формуле $p = mv$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

По условию, оба шарика свободно падают из состояния покоя. Это означает, что их движение происходит только под действием силы тяжести, и их ускорение равно ускорению свободного падения $g$. Начальная скорость шариков $v_0 = 0$.

Скорость тела при свободном падении в момент времени $t$ определяется формулой:

$v(t) = v_0 + gt = 0 + gt = gt$

Поскольку оба шарика начинают падать одновременно из состояния покоя, их скорости в любой момент времени $t$ будут одинаковыми.

Массы шариков различны, так как они изготовлены из материалов с разной плотностью. Массу можно выразить через объём $V$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho V$.

Масса алюминиевого шарика: $m_{ал} = \rho_{ал}V$.

Масса медного шарика: $m_{м} = \rho_{м}V$.

Так как плотность меди больше плотности алюминия ($\rho_{м} > \rho_{ал}$), то при одинаковом объёме масса медного шарика будет больше массы алюминиевого ($m_{м} > m_{ал}$).

Теперь найдем отношение импульсов медного и алюминиевого шариков в произвольный момент времени $t$:

$\frac{p_{м}(t)}{p_{ал}(t)} = \frac{m_{м} \cdot v(t)}{m_{ал} \cdot v(t)}$

Так как скорости $v(t)$ в один и тот же момент времени одинаковы, их можно сократить:

$\frac{p_{м}(t)}{p_{ал}(t)} = \frac{m_{м}}{m_{ал}} = \frac{\rho_{м}V}{\rho_{ал}V}$

Объём $V$ также сокращается, и мы получаем, что отношение импульсов равно отношению плотностей и не зависит от времени падения:

$\frac{p_{м}}{p_{ал}} = \frac{\rho_{м}}{\rho_{ал}}$

Подставим числовые значения плотностей:

$\frac{p_{м}}{p_{ал}} = \frac{8900 \text{ кг/м³}}{2700 \text{ кг/м³}} = \frac{89}{27} \approx 3.3$

Таким образом, импульс медного шарика в любой момент времени падения больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

к концу первой секунды падения:

В момент времени $t_1 = 1$ с скорости шариков равны. Поскольку импульс пропорционален массе при одинаковой скорости, а масса медного шарика больше, его импульс также будет больше. Отношение их импульсов, как было показано выше, постоянно и равно отношению плотностей.

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

к концу второй секунды падения:

В момент времени $t_2 = 2$ с скорости шариков снова будут равны между собой (хотя и больше, чем в момент $t_1=1$ c). Следовательно, соотношение их импульсов останется прежним, так как оно определяется только соотношением масс (и плотностей).

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.