Номер 28, страница 336 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 28, страница 336.

28. Исходя из формулы a_{ц. с} =$\frac{v^2}{r}$ для определения центростремительного ускорения при движении по окружности и формулы g =$\frac{g_0{R^2}_3}{{(R_3+h)}^2}$ выведенной вами при решении задачи 22, получите формулу для расчёта первой космической скорости на высоте h над поверхностью Земли: v = $\sqrt{\frac{g_0{R^2}_3}{R_3+h}}$

Дано:

Формула центростремительного ускорения: $a_{ц.с} = \frac{v^2}{r}$

Формула ускорения свободного падения на высоте $h$ над поверхностью Земли: $g = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Найти:

Формулу для расчёта первой космической скорости $v$ на высоте $h$: $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Решение:

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искусственным спутником, движущимся по круговой орбите на заданной высоте $h$ над поверхностью планеты. Для того чтобы тело двигалось по круговой орбите, на него должна действовать сила, создающая центростремительное ускорение. В случае спутника Земли такой силой является сила гравитационного притяжения.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В данном случае единственной силой, действующей на спутник, является сила тяжести, которая сообщает ему ускорение свободного падения $g$. Это ускорение и является центростремительным ускорением $a_{ц.с}$ для движения по круговой орбите.

Таким образом, мы можем приравнять ускорение свободного падения на высоте $h$ и центростремительное ускорение:

$a_{ц.с} = g$

Подставим в это равенство данные нам формулы:

$\frac{v^2}{r} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Здесь $r$ — это радиус круговой орбиты. Он равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты $h$ над её поверхностью:

$r = R_З + h$

Подставим это выражение для $r$ в нашу формулу:

$\frac{v^2}{R_З + h} = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Теперь выразим из этого уравнения скорость $v$. Для этого умножим обе части уравнения на $(R_З + h)$:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{(R_З + h)^2} \cdot (R_З + h)$

Сократим дробь в правой части:

$v^2 = \frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}$

Чтобы найти скорость $v$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$

Таким образом, мы получили искомую формулу для расчёта первой космической скорости на высоте $h$ над поверхностью Земли.

Ответ: $v = \sqrt{\frac{g_0 R_З^2}{R_З + h}}$