Номер 31, страница 336 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 31, страница 336.

31. Рейка длиной 70 см выдвинута на 25 см за край стола. При этом она не опрокидывается, если к её выступающему концу подвешен груз массой не более 80 г. Чему равна масса рейки?

Дано:

Длина рейки, $L = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

Длина выступающей части, $l_1 = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

Максимальная масса груза, $m_г = 80 \text{ г} = 0.08 \text{ кг}$

Найти:

Массу рейки, $m_р$.

Решение:

Задача на условие равновесия рычага. Рейка находится в состоянии равновесия, когда моменты сил, вращающих её по часовой стрелке и против часовой стрелки относительно точки опоры, равны. В данном случае точкой опоры (осью вращения) является край стола.

На рейку действуют две силы, создающие вращающие моменты:

1. Сила тяжести подвешенного груза $P_г$, которая приложена к самому краю выступающей части рейки. Эта сила создает вращающий момент $M_1$, стремящийся опрокинуть рейку.

2. Сила тяжести самой рейки $P_р$. Предполагая, что рейка однородна, эта сила приложена к её центру масс (середине). Эта сила создает момент $M_2$, который препятствует опрокидыванию.

Момент силы вычисляется по формуле $M = F \cdot l$, где $F$ – это сила, а $l$ – плечо силы, то есть кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Плечо силы тяжести груза $l_1$ равно длине выступающей части рейки:

$l_1 = 25 \text{ см}$

Момент, создаваемый грузом, равен: $M_1 = P_г \cdot l_1 = m_г \cdot g \cdot l_1$, где $g$ – ускорение свободного падения.

Центр масс однородной рейки находится посередине, на расстоянии $L/2$ от любого из ее концов:

$L/2 = 70 \text{ см} / 2 = 35 \text{ см}$

Плечо силы тяжести рейки $l_2$ – это расстояние от оси вращения (края стола) до центра масс рейки. Так как центр масс находится на расстоянии 35 см от конца, а выступающая часть равна 25 см, то расстояние от края стола до центра масс равно:

$l_2 = L/2 - l_1 = 35 \text{ см} - 25 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Момент, создаваемый весом рейки, равен: $M_2 = P_р \cdot l_2 = m_р \cdot g \cdot l_2$.

Состояние, при котором рейка вот-вот опрокинется (при массе груза 80 г), является состоянием предельного равновесия. В этом состоянии моменты сил, вращающие рейку в противоположных направлениях, равны (правило моментов):

$M_1 = M_2$

$m_г \cdot g \cdot l_1 = m_р \cdot g \cdot l_2$

Ускорение свободного падения $g$ можно сократить:

$m_г \cdot l_1 = m_р \cdot l_2$

Отсюда выражаем искомую массу рейки $m_р$:

$m_р = m_г \cdot \frac{l_1}{l_2}$

Подставим числовые значения. Для расчета можно использовать исходные единицы (граммы и сантиметры), так как единицы длины в дроби сократятся, и результат для массы получится в граммах.

$m_р = 80 \text{ г} \cdot \frac{25 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 80 \cdot 2.5 \text{ г} = 200 \text{ г}$

Ответ: масса рейки равна 200 г.