Страница 337 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

32. Тело массой 0,3 кг свободно падает из состояния покоя в течение 3 с. На сколько увеличивается его импульс за первую секунду падения; за вторую секунду падения?

Дано:

масса тела, $m = 0,3$ кг

начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (состояние покоя)

ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

промежуток времени для первого случая, $\Delta t_1 = 1$ с

промежуток времени для второго случая, $\Delta t_2 = 1$ с (вторая секунда это интервал от $t=1$ с до $t=2$ с, т.е. длительностью 1 с)

Найти:

$\Delta p_1$ — увеличение импульса за первую секунду падения;

$\Delta p_2$ — увеличение импульса за вторую секунду падения.

Решение:

Изменение импульса тела $\Delta p$ равно импульсу силы $F$, действующей на тело в течение промежутка времени $\Delta t$. Это следует из второго закона Ньютона в импульсной форме:

$\Delta p = F \cdot \Delta t$

При свободном падении на тело действует только сила тяжести $F_g$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Сила тяжести постоянна и равна:

$F_g = m \cdot g$

Следовательно, увеличение импульса за любой промежуток времени $\Delta t$ можно рассчитать по формуле:

$\Delta p = m \cdot g \cdot \Delta t$

Из этой формулы видно, что поскольку масса тела $m$ и ускорение свободного падения $g$ постоянны, то за одинаковые промежутки времени $\Delta t$ изменение импульса тела будет одинаковым.

за первую секунду падения

Промежуток времени, за который нужно найти увеличение импульса, равен $\Delta t_1 = 1$ с. Подставим значения в формулу:

$\Delta p_1 = m \cdot g \cdot \Delta t_1 = 0,3 \, \text{кг} \cdot 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1 \, \text{с} = 3 \, \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$

Ответ: увеличение импульса за первую секунду падения составляет $3 \, \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$.

за вторую секунду падения

Вторая секунда падения — это интервал времени от конца первой секунды ($t=1$ с) до конца второй секунды ($t=2$ с). Длительность этого интервала также составляет $\Delta t_2 = 2 \, \text{с} - 1 \, \text{с} = 1$ с.

Так как промежуток времени такой же, как и в первом случае, и сила тяжести не изменилась, увеличение импульса будет таким же:

$\Delta p_2 = m \cdot g \cdot \Delta t_2 = 0,3 \, \text{кг} \cdot 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1 \, \text{с} = 3 \, \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$

Ответ: увеличение импульса за вторую секунду падения составляет $3 \, \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$.

33. С помощью графика, построенного вами при решении задачи 30, покажите, что импульс свободно падающего тела за равные промежутки времени меняется на одну и ту же величину.

Решение

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела $\Delta \vec{p}$ за промежуток времени $\Delta t$ равно импульсу действующей на него равнодействующей силы $\vec{F}$: $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$.

При свободном падении (в отсутствие сопротивления воздуха) на тело действует только постоянная сила тяжести $\vec{F}_{тяж} = m\vec{g}$. Следовательно, изменение импульса тела равно $\Delta \vec{p} = m\vec{g}\Delta t$. Так как масса тела $m$ и ускорение свободного падения $\vec{g}$ являются постоянными величинами, то из этой формулы следует, что за равные промежутки времени $\Delta t$ изменение импульса $\Delta \vec{p}$ также будет одинаковым.

Это утверждение можно продемонстрировать с помощью графика зависимости импульса от времени $p(t)$, который упоминается в условии (построен в задаче 30). Зависимость скорости свободно падающего тела от времени описывается уравнением $v(t) = v_0 + gt$ (при условии, что ось направлена вертикально вниз, а $v_0$ — начальная скорость). Тогда зависимость модуля импульса от времени имеет вид: $p(t) = m \cdot v(t) = m(v_0 + gt) = mv_0 + mgt$.

Обозначив начальный импульс $p_0 = mv_0$, получим уравнение $p(t) = p_0 + mgt$. Это уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$. Графиком такой зависимости является прямая линия.

Геометрический смысл углового коэффициента (наклона) этой прямой — это отношение изменения функции к изменению аргумента, то есть $\frac{\Delta p}{\Delta t}$. Из уравнения $p(t) = p_0 + mgt$ видно, что угловой коэффициент равен $mg$ и является постоянной величиной. Так как наклон прямой линии постоянен, то для любых равных промежутков времени $\Delta t$ соответствующее изменение импульса $\Delta p = mg \cdot \Delta t$ будет одним и тем же. На графике это проявляется в том, что если отложить на оси времени (оси абсцисс) равные отрезки, то соответствующие им приращения по оси импульсов (оси ординат) также будут равны.

Ответ: График зависимости импульса свободно падающего тела от времени $p(t)$ является прямой линией, так как описывается линейной функцией $p(t) = p_0 + mgt$. Наклон этой прямой $\frac{\Delta p}{\Delta t} = mg$ постоянен. Постоянство наклона означает, что за равные промежутки времени $\Delta t$ изменение импульса $\Delta p$ всегда будет одинаковым.

34. Алюминиевый и медный шарики одинакового объёма свободно падают из состояния покоя с одной и той же высоты в течение 2,5 с. Импульс какого из шариков будет больше и во сколько раз к концу первой секунды падения; к концу второй секунды падения? Ответы обоснуйте.

Дано:

$V_{ал} = V_{м} = V$ (объём шариков одинаков)

$v_0 = 0$ (начальная скорость)

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 2$ с

Справочные данные:

Плотность алюминия: $\rho_{ал} = 2700$ кг/м³

Плотность меди: $\rho_{м} = 8900$ кг/м³ (округленное значение)

Найти:

1. Сравнить импульсы $p_{ал}$ и $p_{м}$ в момент времени $t_1$. Найти отношение $\frac{p_{м}(t_1)}{p_{ал}(t_1)}$.

2. Сравнить импульсы $p_{ал}$ и $p_{м}$ в момент времени $t_2$. Найти отношение $\frac{p_{м}(t_2)}{p_{ал}(t_2)}$.

Решение:

Импульс тела (или количество движения) вычисляется по формуле $p = mv$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

По условию, оба шарика свободно падают из состояния покоя. Это означает, что их движение происходит только под действием силы тяжести, и их ускорение равно ускорению свободного падения $g$. Начальная скорость шариков $v_0 = 0$.

Скорость тела при свободном падении в момент времени $t$ определяется формулой:

$v(t) = v_0 + gt = 0 + gt = gt$

Поскольку оба шарика начинают падать одновременно из состояния покоя, их скорости в любой момент времени $t$ будут одинаковыми.

Массы шариков различны, так как они изготовлены из материалов с разной плотностью. Массу можно выразить через объём $V$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho V$.

Масса алюминиевого шарика: $m_{ал} = \rho_{ал}V$.

Масса медного шарика: $m_{м} = \rho_{м}V$.

Так как плотность меди больше плотности алюминия ($\rho_{м} > \rho_{ал}$), то при одинаковом объёме масса медного шарика будет больше массы алюминиевого ($m_{м} > m_{ал}$).

Теперь найдем отношение импульсов медного и алюминиевого шариков в произвольный момент времени $t$:

$\frac{p_{м}(t)}{p_{ал}(t)} = \frac{m_{м} \cdot v(t)}{m_{ал} \cdot v(t)}$

Так как скорости $v(t)$ в один и тот же момент времени одинаковы, их можно сократить:

$\frac{p_{м}(t)}{p_{ал}(t)} = \frac{m_{м}}{m_{ал}} = \frac{\rho_{м}V}{\rho_{ал}V}$

Объём $V$ также сокращается, и мы получаем, что отношение импульсов равно отношению плотностей и не зависит от времени падения:

$\frac{p_{м}}{p_{ал}} = \frac{\rho_{м}}{\rho_{ал}}$

Подставим числовые значения плотностей:

$\frac{p_{м}}{p_{ал}} = \frac{8900 \text{ кг/м³}}{2700 \text{ кг/м³}} = \frac{89}{27} \approx 3.3$

Таким образом, импульс медного шарика в любой момент времени падения больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

к концу первой секунды падения:

В момент времени $t_1 = 1$ с скорости шариков равны. Поскольку импульс пропорционален массе при одинаковой скорости, а масса медного шарика больше, его импульс также будет больше. Отношение их импульсов, как было показано выше, постоянно и равно отношению плотностей.

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

к концу второй секунды падения:

В момент времени $t_2 = 2$ с скорости шариков снова будут равны между собой (хотя и больше, чем в момент $t_1=1$ c). Следовательно, соотношение их импульсов останется прежним, так как оно определяется только соотношением масс (и плотностей).

Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого примерно в 3,3 раза.

35. Два одинаковых бильярдных шара, двигаясь вдоль одной прямой, сталкиваются друг с другом. Перед столкновением проекция вектора скорости первого шара на ось X была равна v_1x = 0,2 м/с, а второго — v_2x = 0,1 м/с. Определите проекцию вектора скорости второго шара после столкновения, если у первого она стала равна v_1x = 0,1 м/с.

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = m$

Проекция начальной скорости первого шара на ось X: $v_{1x} = 0,2 \text{ м/с}$

Проекция начальной скорости второго шара на ось X: $v_{2x} = 0,1 \text{ м/с}$

Проекция конечной скорости первого шара на ось X: $v'_{1x} = 0,1 \text{ м/с}$

Найти:

Проекцию конечной скорости второго шара на ось X: $v'_{2x}$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения импульса. Поскольку столкновение происходит между двумя бильярдными шарами, их можно рассматривать как замкнутую систему (внешние силы, такие как сила тяжести и сила реакции опоры, уравновешивают друг друга, а силами сопротивления, например, трением, можно пренебречь).

Закон сохранения импульса утверждает, что полный импульс замкнутой системы тел до взаимодействия равен полному импульсу системы после взаимодействия. В векторной форме это записывается так:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v'_1} + m_2\vec{v'_2}$

Так как движение шаров происходит вдоль одной прямой, которую мы обозначили как ось X, мы можем записать закон сохранения импульса в проекциях на эту ось:

$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v'_{1x} + m_2 v'_{2x}$

По условию задачи, шары одинаковые, что означает равенство их масс: $m_1 = m_2 = m$. Подставим это в наше уравнение:

$m v_{1x} + m v_{2x} = m v'_{1x} + m v'_{2x}$

Так как масса $m$ не равна нулю, мы можем сократить ее в обеих частях уравнения:

$v_{1x} + v_{2x} = v'_{1x} + v'_{2x}$

Теперь из этого соотношения выразим искомую величину — проекцию скорости второго шара после столкновения $v'_{2x}$:

$v'_{2x} = v_{1x} + v_{2x} - v'_{1x}$

Подставим числовые значения из условия:

$v'_{2x} = 0,2 \text{ м/с} + 0,1 \text{ м/с} - 0,1 \text{ м/с} = 0,2 \text{ м/с}$

Ответ: проекция вектора скорости второго шара после столкновения равна $0,2 \text{ м/с}$.

36. Решите предыдущую задачу для случая, при котором v_1x = 0,2 м/с, v_2x = -0,1 м/с, v_1x = -0,1 м/с.

Поскольку условие задачи ссылается на "предыдущую задачу", которая не приведена, будем делать наиболее вероятное предположение, что речь идет о центральном абсолютно упругом столкновении двух тел. При таком столкновении в замкнутой системе сохраняются как суммарный импульс, так и суммарная кинетическая энергия. На основе этого предположения найдем неизвестные величины.

Дано:

Проекция начальной скорости первого тела: $v_{1x} = 0,2$ м/с

Проекция начальной скорости второго тела: $v_{2x} = -0,1$ м/с

Проекция конечной скорости первого тела: $v'_{1x} = -0,1$ м/с

Столкновение является абсолютно упругим.

Все данные уже представлены в единицах системы СИ.

Найти:

а) $v'_{2x}$ — проекцию скорости второго тела после столкновения.

б) $\frac{m_1}{m_2}$ — отношение масс тел.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения импульса и кинетической энергии для одномерного упругого столкновения.

а) Найти скорость второго шара после столкновения $v'_{2x}$

Для абсолютно упругого столкновения справедливо соотношение для скоростей, которое выводится из законов сохранения энергии и импульса:

$v_{1x} - v_{2x} = -(v'_{1x} - v'_{2x})$

Это уравнение показывает, что относительная скорость тел до столкновения равна по модулю и противоположна по знаку относительной скорости после столкновения. Выразим из этого соотношения искомую скорость $v'_{2x}$:

$v_{1x} - v_{2x} = v'_{2x} - v'_{1x}$

$v'_{2x} = v_{1x} - v_{2x} + v'_{1x}$

Подставим заданные числовые значения:

$v'_{2x} = 0,2 \text{ м/с} - (-0,1 \text{ м/с}) + (-0,1 \text{ м/с}) = 0,2 + 0,1 - 0,1 = 0,2$ м/с.

Ответ: $v'_{2x} = 0,2$ м/с.

б) Найти отношение масс шаров $m_1/m_2$

Теперь, зная все скорости, мы можем использовать закон сохранения импульса для нахождения отношения масс. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось X:

$m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m_1 v'_{1x} + m_2 v'_{2x}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $m_1$ и $m_2$:

$m_1 v_{1x} - m_1 v'_{1x} = m_2 v'_{2x} - m_2 v_{2x}$

$m_1 (v_{1x} - v'_{1x}) = m_2 (v'_{2x} - v_{2x})$

Отсюда можно выразить искомое отношение масс $\frac{m_1}{m_2}$:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v'_{2x} - v_{2x}}{v_{1x} - v'_{1x}}$

Подставим в это выражение значения всех скоростей (включая найденную в пункте а) скорость $v'_{2x}$):

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{0,2 - (-0,1)}{0,2 - (-0,1)} = \frac{0,2 + 0,1}{0,2 + 0,1} = \frac{0,3}{0,3} = 1$

Таким образом, отношение масс равно единице, что означает, что массы тел одинаковы: $m_1 = m_2$. Этот результат согласуется с полученными скоростями: при упругом столкновении тел равной массы они обмениваются скоростями. В нашем случае $v'_{1x} = v_{2x} = -0,1$ м/с и $v'_{2x} = v_{1x} = 0,2$ м/с, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $\frac{m_1}{m_2} = 1$.

37. Чему равна работа силы трения при торможении с заблокированными колёсами автомобиля массой 2 т, если скорость автомобиля уменьшилась от 72 до 36 км/ч?

Дано:

Масса автомобиля, $m = 2$ т

Начальная скорость, $v_1 = 72$ км/ч

Конечная скорость, $v_2 = 36$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$m = 2 \cdot 1000 = 2000$ кг

$v_1 = 72 \frac{км}{ч} = \frac{72 \cdot 1000 \ м}{3600 \ с} = 20$ м/с

$v_2 = 36 \frac{км}{ч} = \frac{36 \cdot 1000 \ м}{3600 \ с} = 10$ м/с

Найти:

Работу силы трения, $A_{тр}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершаемая равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии этого тела.

При торможении автомобиля с заблокированными колесами единственной силой, совершающей работу по изменению его скорости (на горизонтальной дороге), является сила трения скольжения. Следовательно, работа силы трения равна изменению кинетической энергии автомобиля.

$A_{тр} = \Delta E_k$

Изменение кинетической энергии $(\Delta E_k)$ равно разности между конечной $(E_{k2})$ и начальной $(E_{k1})$ кинетической энергией:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Кинетическая энергия рассчитывается по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Таким образом, работа силы трения будет равна:

$A_{тр} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$A_{тр} = \frac{2000 \cdot (10^2 - 20^2)}{2} = \frac{2000 \cdot (100 - 400)}{2}$

$A_{тр} = \frac{2000 \cdot (-300)}{2} = 1000 \cdot (-300) = -300000$ Дж

Работа получилась отрицательной, что является верным, так как сила трения направлена в сторону, противоположную перемещению автомобиля, и его кинетическая энергия уменьшается.

Результат можно представить в килоджоулях (кДж), разделив на 1000:

$A_{тр} = -300000 \ Дж = -300 \ кДж$

Ответ: работа силы трения равна -300 кДж.

38. Пружина жёсткостью 500 Н/м растянута на 2 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть эту пружину дополнительно ещё на 2 см?

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 500 \text{ Н/м}$

Начальное растяжение, $x_1 = 2 \text{ см}$

Дополнительное растяжение, $\Delta x = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$x_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$\Delta x = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Работу, $A$

Решение:

Работа, совершаемая для растяжения пружины, равна изменению её потенциальной энергии. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ - жёсткость пружины, а $x$ - её удлинение (растяжение) от положения равновесия.

В начальном состоянии пружина уже растянута на величину $x_1 = 0.02 \text{ м}$. Её потенциальная энергия в этом состоянии равна:

$E_{p1} = \frac{kx_1^2}{2}$

В конечном состоянии пружину растянули дополнительно на $\Delta x = 0.02 \text{ м}$. Общее растяжение пружины от положения равновесия составит:

$x_2 = x_1 + \Delta x = 0.02 \text{ м} + 0.02 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

Потенциальная энергия пружины в конечном состоянии будет равна:

$E_{p2} = \frac{kx_2^2}{2}$

Работа, которую необходимо совершить, чтобы растянуть пружину из начального состояния в конечное, равна разности потенциальных энергий в этих состояниях:

$A = E_{p2} - E_{p1} = \frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2} = \frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2)$

Подставим числовые значения в формулу:

$A = \frac{500 \text{ Н/м}}{2} \cdot ((0.04 \text{ м})^2 - (0.02 \text{ м})^2)$

$A = 250 \text{ Н/м} \cdot (0.0016 \text{ м}^2 - 0.0004 \text{ м}^2)$

$A = 250 \text{ Н/м} \cdot 0.0012 \text{ м}^2$

$A = 0.3 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы растянуть пружину дополнительно ещё на 2 см, нужно совершить работу, равную $0.3 \text{ Дж}$.

39. Брусок массой m = 100 г поднимают из состояния покоя вертикально вверх с ускорением a = 1 м/с. Чему будет равна кинетическая энергия бруска через время Δt = 4 с? Какая работа при этом будет совершена силой тяжести?

Дано:

Масса бруска, $m = 100 \text{ г}$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Ускорение, $a = 1 \text{ м/с}^2$

Время движения, $t = 4 \text{ с}$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Кинетическую энергию $E_к$ - ?

Работу силы тяжести $A_т$ - ?

Решение:

Чему будет равна кинетическая энергия бруска через время Δt = 4 с?

Кинетическая энергия тела определяется по формуле: $E_к = \frac{mv^2}{2}$ где $m$ - масса тела, а $v$ - его скорость. Чтобы найти кинетическую энергию, сначала необходимо определить скорость бруска через 4 секунды. Поскольку брусок начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и движется с постоянным ускорением $a$, его скорость в момент времени $t$ находится по формуле равноускоренного движения: $v = v_0 + at$ Подставим числовые значения: $v = 0 + 1 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \text{ с} = 4 \text{ м/с}$ Теперь, зная скорость, мы можем рассчитать кинетическую энергию: $E_к = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot (4 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 16 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} = \frac{1.6}{2} \text{ Дж} = 0.8 \text{ Дж}$

Ответ: кинетическая энергия бруска равна 0.8 Дж.

Какая работа при этом будет совершена силой тяжести?

Работа, совершаемая постоянной силой, вычисляется по формуле: $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$ где $F$ - модуль силы, $s$ - модуль перемещения, а $\alpha$ - угол между направлением силы и направлением перемещения. В данном случае сила - это сила тяжести $F_т = mg$, которая направлена вертикально вниз. Брусок перемещается вертикально вверх, поэтому угол между вектором силы тяжести и вектором перемещения составляет $\alpha = 180°$. Так как $\cos(180°) = -1$, формула для работы силы тяжести принимает вид: $A_т = -F_т \cdot s = -mgs$ Сначала найдем перемещение $s$ (высоту подъема), на которую поднялся брусок за время $t=4$ с, по формуле пути при равноускоренном движении: $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ Подставим известные значения: $s = 0 \cdot 4 \text{ с} + \frac{1 \text{ м/с}^2 \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = \frac{1 \cdot 16}{2} \text{ м} = 8 \text{ м}$ Теперь рассчитаем работу силы тяжести, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$: $A_т = -0.1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 8 \text{ м} = -7.84 \text{ Дж}$ Работа имеет отрицательное значение, потому что сила тяжести направлена в сторону, противоположную перемещению бруска.

Ответ: работа, совершенная силой тяжести, равна -7.84 Дж.

40. Груз массой 10 кг падает с высоты 10 м и проникает в мягкий грунт на глубину 20 см. Определите силу сопротивления грунта, считая её постоянной. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано:

Масса груза, $m = 10 \text{ кг}$

Высота падения, $h = 10 \text{ м}$

Глубина проникновения в грунт, $s = 20 \text{ см}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$s = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Силу сопротивления грунта $F_{сопр}$.

Решение:

Воспользуемся теоремой об изменении полной механической энергии. Согласно этой теореме, изменение полной механической энергии системы равно работе внешних неконсервативных сил. В данном случае такой силой является сила сопротивления грунта.

$ \Delta E_{мех} = A_{сопр} $

Полная механическая энергия $E_{мех}$ является суммой кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий.

Рассмотрим движение груза от начальной точки на высоте $h$ до полной остановки в грунте. Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии конечное положение груза (на глубине $s$ в грунте).

В начальном состоянии (на высоте $h$ над землей) груз покоится. Его высота относительно нулевого уровня составляет $H = h+s$.

Начальная кинетическая энергия: $E_{к1} = 0$.

Начальная потенциальная энергия: $E_{п1} = mg(h+s)$.

Полная начальная энергия системы: $E_1 = E_{к1} + E_{п1} = mg(h+s)$.

В конечном состоянии груз останавливается в грунте на нулевом уровне.

Конечная кинетическая энергия: $E_{к2} = 0$.

Конечная потенциальная энергия: $E_{п2} = 0$.

Полная конечная энергия системы: $E_2 = E_{к2} + E_{п2} = 0$.

Изменение полной механической энергии за все время движения:

$ \Delta E_{мех} = E_2 - E_1 = 0 - mg(h+s) = -mg(h+s) $

Сила сопротивления грунта $F_{сопр}$ совершает работу только на участке движения в грунте, то есть на пути $s$. Так как сила сопротивления направлена против движения, ее работа отрицательна:

$ A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot s $

Приравняем изменение механической энергии к работе силы сопротивления:

$ -mg(h+s) = -F_{сопр} \cdot s $

Отсюда можем выразить искомую силу сопротивления:

$ F_{сопр} = \frac{mg(h+s)}{s} $

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$ F_{сопр} = \frac{10 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ м} + 0.2 \text{ м})}{0.2 \text{ м}} = \frac{98 \text{ Н} \cdot 10.2 \text{ м}}{0.2 \text{ м}} = \frac{999.6 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0.2 \text{ м}} = 4998 \text{ Н} $

Полученный результат можно округлить до $5000 \text{ Н}$ или $5 \text{ кН}$.

Ответ:

Сила сопротивления грунта равна $4998 \text{ Н}$.

41. Используя данные и результат решения задачи 36, покажите, что при столкновении шаров полная механическая энергия системы не изменилась.

Поскольку условие задачи 41 ссылается на данные и результат решения задачи 36, которые не предоставлены, мы будем использовать гипотетические, но реалистичные данные для абсолютно упругого центрального столкновения двух шаров.

Дано:

Предположим, что в задаче 36 были даны следующие условия и получены следующие результаты:

Масса первого шара: $m_1 = 2$ кг

Масса второго шара: $m_2 = 3$ кг

Скорость первого шара до столкновения: $v_1 = 4$ м/с

Скорость второго шара до столкновения: $v_2 = -2$ м/с (знак «минус» указывает на движение в противоположном направлении)

Скорость первого шара после столкновения (результат из задачи 36): $u_1 = -3.2$ м/с

Скорость второго шара после столкновения (результат из задачи 36): $u_2 = 2.8$ м/с

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Показать, что полная механическая энергия системы не изменилась, т.е. $E_{\text{до}} = E_{\text{после}}$.

Решение:

Полная механическая энергия системы тел $E$ является суммой их кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий: $E = E_k + E_p$.

При столкновении шаров на горизонтальной поверхности их высота над нулевым уровнем не изменяется. Следовательно, их потенциальная энергия остается постоянной ($E_{p,\text{до}} = E_{p,\text{после}}$).

Таким образом, для доказательства сохранения полной механической энергии системы достаточно показать, что суммарная кинетическая энергия шаров до столкновения равна их суммарной кинетической энергии после столкновения.

1. Вычислим кинетическую энергию системы до столкновения ($E_{k, \text{до}}$):

$E_{k, \text{до}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$E_{k, \text{до}} = \frac{2 \cdot 4^2}{2} + \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} = \frac{2 \cdot 16}{2} + \frac{3 \cdot 4}{2} = 16 \text{ Дж} + 6 \text{ Дж} = 22 \text{ Дж}$

2. Вычислим кинетическую энергию системы после столкновения ($E_{k, \text{после}}$):

$E_{k, \text{после}} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Подставим значения скоростей после столкновения:

$E_{k, \text{после}} = \frac{2 \cdot (-3.2)^2}{2} + \frac{3 \cdot (2.8)^2}{2} = \frac{2 \cdot 10.24}{2} + \frac{3 \cdot 7.84}{2} = 10.24 + 11.76 = 22 \text{ Дж}$

3. Сравним полученные значения:

$E_{k, \text{до}} = 22$ Дж

$E_{k, \text{после}} = 22$ Дж

Поскольку $E_{k, \text{до}} = E_{k, \text{после}}$, а потенциальная энергия системы не изменилась, можно сделать вывод, что полная механическая энергия системы при столкновении сохранилась.

Ответ:

Расчеты показывают, что кинетическая энергия системы до столкновения ($22$ Дж) равна кинетической энергии системы после столкновения ($22$ Дж). Так как потенциальная энергия системы при столкновении не изменялась, полная механическая энергия системы не изменилась, что и требовалось доказать.

42. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 30 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной? За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии принять поверхность Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная высота $H = 30$ м

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

Соотношение энергий: $E_k = \frac{1}{2} E_p$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с² (для расчетов его можно сократить)

Найти:

Высоту $h$

Решение:

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии, так как по условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь. Полная механическая энергия тела $E$ является суммой его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p$.

В начальный момент времени, когда тело находится на высоте $H=30$ м, его скорость равна нулю ($v_0 = 0$). Следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$. Начальная потенциальная энергия $E_{p0} = m g H$, где $m$ — масса тела.

Полная механическая энергия в начальный момент времени: $E_0 = E_{k0} + E_{p0} = 0 + m g H = m g H$.

В некоторый момент падения на искомой высоте $h$ тело будет обладать скоростью $v$, и его кинетическая энергия будет равна $E_k = \frac{m v^2}{2}$, а потенциальная энергия $E_p = m g h$.

Полная механическая энергия тела на высоте $h$ составляет: $E = E_k + E_p$.

По условию задачи, в этот момент кинетическая энергия вдвое меньше потенциальной: $E_k = \frac{1}{2} E_p$.

Подставим это соотношение в формулу для полной энергии на высоте $h$: $E = \frac{1}{2} E_p + E_p = \frac{3}{2} E_p$.

Заменив $E_p$ на $m g h$, получим: $E = \frac{3}{2} m g h$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается постоянной, то есть $E_0 = E$: $m g H = \frac{3}{2} m g h$.

Сократим обе части уравнения на $m g$: $H = \frac{3}{2} h$.

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$: $h = \frac{2}{3} H$.

Подставим числовое значение начальной высоты $H$: $h = \frac{2}{3} \cdot 30 \text{ м} = 2 \cdot 10 \text{ м} = 20 \text{ м}$.

Ответ: на высоте 20 м кинетическая энергия тела будет вдвое меньше потенциальной.

43. На рисунке 227 приведён график изменения с течением времени проекции вектора скорости одной из точек сиденья качелей. С какой частотой происходит это изменение? Какова частота изменения скорости любой другой точки качелей, совершающей колебания?

С какой частотой происходит это изменение?

На рисунке представлен график зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$. Это гармоническое колебание. Чтобы найти частоту, сначала определим период колебаний $T$ — время одного полного колебания.

Из графика видно, что одно полное колебание завершается за 2 секунды. Например, в момент времени $t=0$ скорость равна нулю и начинает увеличиваться. Пройдя через максимум, скорость снова становится равной нулю в момент $t=1$ с, а затем, пройдя через минимум, возвращается к значению, равному нулю, в момент $t=2$ с, завершая полный цикл. Следовательно, период колебаний $T = 2$ с.

Частота $\nu$ обратно пропорциональна периоду $T$: $ \nu = \frac{1}{T} $

Подставляя значение периода, находим частоту: $ \nu = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0,5 \text{ Гц} $

Ответ: Изменение скорости происходит с частотой 0,5 Гц.

Какова частота изменения скорости любой другой точки качелей, совершающей колебания?

Качели представляют собой твёрдое тело, все точки которого совершают колебательное движение вокруг общей оси с одинаковой угловой скоростью. Это означает, что период и частота колебаний одинаковы для всех точек этого тела. Амплитуда линейной скорости будет разной (чем дальше точка от оси вращения, тем она больше), но частота останется неизменной.

Ответ: Частота изменения скорости любой другой точки качелей также составляет 0,5 Гц.

44. Струна арфы совершает гармонические колебания с частотой 40 Гц. Постройте график зависимости x(t) для средней точки струны, амплитуда колебаний которой 3 мм.

Дано:

Частота колебаний $\nu = 40$ Гц

Амплитуда колебаний $A = 3$ мм

Перевод в систему СИ:

$A = 3 \text{ мм} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Построить график зависимости $x(t)$.

Решение:

Гармонические колебания точки описываются уравнением вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Для построения графика выберем наиболее простой случай, когда в начальный момент времени ($t=0$) смещение точки от положения равновесия максимально. В этом случае начальная фаза $\phi_0=0$, и уравнение колебаний принимает вид: $x(t) = A \cos(\omega t)$

Амплитуда колебаний дана в условии: $A = 3$ мм.

Циклическая частота $\omega$ связана с обычной частотой $\nu$ соотношением: $ \omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 40 = 80\pi \text{ рад/с} $

Период колебаний $T$ равен: $ T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{40 \text{ Гц}} = 0,025 \text{ с} $

Таким образом, зависимость смещения средней точки струны от времени описывается уравнением: $ x(t) = 3 \cos(80\pi t) $, где $x$ выражено в миллиметрах, а $t$ — в секундах.

Для построения графика зависимости $x(t)$ выполним следующие шаги:

1. Нарисуем оси координат: горизонтальная ось — время $t$ в секундах (с), вертикальная ось — смещение $x$ в миллиметрах (мм).

2. На вертикальной оси отметим амплитудные значения +3 мм и -3 мм. График будет осциллировать между этими значениями.

3. На горизонтальной оси отметим ключевые точки времени для одного периода ($T = 0,025$ с): $t=0$, $t=T/4=0,00625$ с, $t=T/2=0,0125$ с, $t=3T/4=0,01875$ с, $t=T=0,025$ с.

4. Построим график в соответствии с уравнением $x(t) = 3 \cos(80\pi t)$:

- При $t = 0$: $x = 3 \cos(0) = 3$ мм.

- При $t = 0,00625$ с: $x = 3 \cos(\pi/2) = 0$ мм.

- При $t = 0,0125$ с: $x = 3 \cos(\pi) = -3$ мм.

- При $t = 0,01875$ с: $x = 3 \cos(3\pi/2) = 0$ мм.

- При $t = 0,025$ с: $x = 3 \cos(2\pi) = 3$ мм.

5. Соединим полученные точки плавной кривой, которая будет являться косинусоидой.

Ответ: График зависимости $x(t)$ — это косинусоида с амплитудой $A=3$ мм и периодом $T=0,025$ с. График начинается в точке с максимальным смещением (0 с; 3 мм), проходит через положение равновесия в момент $t=0,00625$ с, достигает максимального отрицательного смещения в точке (0,0125 с; -3 мм) и возвращается в исходное положение за один период, равный 0,025 с. Уравнение движения: $x(t) = 3 \cos(80\pi t)$, где $x$ в мм, $t$ в с.

44. Струна арфы совершает гармонические колебания с частотой 40 Гц. Постройте график зависимости х(t) для средней точки струны, амплитуда колебаний которой равна 3 мм.

Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны; для средних точек других струн арфы? Почему?

Дано:

Частота гармонических колебаний, $ν = 40$ Гц

Амплитуда колебаний средней точки струны, $A = 3$ мм

Перевод в систему СИ:

$A = 3 \text{ мм} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.003 \text{ м}$

Найти:

1. Построить график зависимости $x(t)$ для средней точки струны.

2. Ответить на вопрос: годится ли построенный график для других точек той же струны и для средних точек других струн арфы.

Решение:

Гармонические колебания описываются уравнением вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$. Для простоты примем начальную фазу $\phi_0 = 0$ и будем использовать функцию синуса, что соответствует началу колебаний из положения равновесия ($x=0$ при $t=0$). Тогда уравнение движения имеет вид: $x(t) = A \sin(\omega t)$.

Найдем параметры колебаний:

1. Период колебаний $T$ связан с частотой $ν$ соотношением: $T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{40 \text{ Гц}} = 0.025 \text{ с}$

2. Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с обычной частотой $ν$ формулой: $\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 40 \text{ Гц} = 80\pi \text{ рад/с}$

Подставив значения амплитуды $A$ и циклической частоты $\omega$ в уравнение движения, получим уравнение зависимости смещения от времени $x(t)$ для средней точки струны (если измерять смещение в миллиметрах): $x(t) = 3 \sin(80\pi t)$

Для построения графика $x(t)$ необходимо нарисовать синусоиду.

• По оси ординат (вертикальной) откладывается смещение $x$ в миллиметрах. Максимальное значение +3 мм, минимальное -3 мм.
• По оси абсцисс (горизонтальной) откладывается время $t$ в секундах.
• График представляет собой синусоиду, начинающуюся в точке (0; 0).
• Период графика $T = 0.025$ с. Это означает, что один полный цикл колебаний завершается за 0.025 секунды.
• Ключевые точки одного периода:
  • $t=0$ с, $x=0$ мм
  • $t=T/4 = 0.00625$ с, $x=3$ мм (максимальное отклонение)
  • $t=T/2 = 0.0125$ с, $x=0$ мм
  • $t=3T/4 = 0.01875$ с, $x=-3$ мм (максимальное отклонение в другую сторону)
  • $t=T = 0.025$ с, $x=0$ мм

Ответ: График зависимости $x(t)$ представляет собой синусоиду с амплитудой 3 мм и периодом 0.025 с, описываемую уравнением $x(t) = 3 \sin(80\pi t)$, где $x$ в мм, $t$ в с.

Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны?

Нет, не годится. Все точки одной и той же колеблющейся струны (кроме неподвижных концов-узлов) совершают колебания с одинаковой частотой $ν$ и, следовательно, с одинаковым периодом $T$. Однако амплитуда $A$ колебаний зависит от положения точки на струне. Максимальная амплитуда наблюдается в середине струны (в пучности стоячей волны), а по мере приближения к закрепленным концам струны (узлам) амплитуда уменьшается до нуля. Таким образом, для других точек струны график будет иметь тот же период, но меньшую амплитуду.

Ответ: Нет, так как у других точек этой струны будет другая (меньшая) амплитуда колебаний.

Годится ли построенный вами график для средних точек других струн арфы?

Нет, не годится. Арфа — многострунный инструмент, и каждая ее струна настроена на определенную ноту, то есть имеет свою собственную частоту колебаний. Частота колебаний струны зависит от ее длины, силы натяжения и линейной плотности. Поскольку разные струны издают разные по высоте звуки, их частоты колебаний $ν$ различны. Следовательно, будут отличаться и периоды колебаний $T=1/ν$, и циклические частоты $\omega=2\pi\nu$. Амплитуда колебаний $A$ также может быть другой. Поэтому график для средней точки другой струны будет иметь, как правило, и другую амплитуду, и другой период.

Ответ: Нет, так как другие струны арфы имеют другие частоты (и периоды) колебаний.