Номер 43, страница 337 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 43, страница 337.

43. На рисунке 227 приведён график изменения с течением времени проекции вектора скорости одной из точек сиденья качелей. С какой частотой происходит это изменение? Какова частота изменения скорости любой другой точки качелей, совершающей колебания?

С какой частотой происходит это изменение?

На рисунке представлен график зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$. Это гармоническое колебание. Чтобы найти частоту, сначала определим период колебаний $T$ — время одного полного колебания.

Из графика видно, что одно полное колебание завершается за 2 секунды. Например, в момент времени $t=0$ скорость равна нулю и начинает увеличиваться. Пройдя через максимум, скорость снова становится равной нулю в момент $t=1$ с, а затем, пройдя через минимум, возвращается к значению, равному нулю, в момент $t=2$ с, завершая полный цикл. Следовательно, период колебаний $T = 2$ с.

Частота $\nu$ обратно пропорциональна периоду $T$: $ \nu = \frac{1}{T} $

Подставляя значение периода, находим частоту: $ \nu = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0,5 \text{ Гц} $

Ответ: Изменение скорости происходит с частотой 0,5 Гц.

Какова частота изменения скорости любой другой точки качелей, совершающей колебания?

Качели представляют собой твёрдое тело, все точки которого совершают колебательное движение вокруг общей оси с одинаковой угловой скоростью. Это означает, что период и частота колебаний одинаковы для всех точек этого тела. Амплитуда линейной скорости будет разной (чем дальше точка от оси вращения, тем она больше), но частота останется неизменной.

Ответ: Частота изменения скорости любой другой точки качелей также составляет 0,5 Гц.

---

44. Струна арфы совершает гармонические колебания с частотой 40 Гц. Постройте график зависимости x(t) для средней точки струны, амплитуда колебаний которой 3 мм.

Дано:

Частота колебаний $\nu = 40$ Гц

Амплитуда колебаний $A = 3$ мм

Перевод в систему СИ:

$A = 3 \text{ мм} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Построить график зависимости $x(t)$.

Решение:

Гармонические колебания точки описываются уравнением вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Для построения графика выберем наиболее простой случай, когда в начальный момент времени ($t=0$) смещение точки от положения равновесия максимально. В этом случае начальная фаза $\phi_0=0$, и уравнение колебаний принимает вид: $x(t) = A \cos(\omega t)$

Амплитуда колебаний дана в условии: $A = 3$ мм.

Циклическая частота $\omega$ связана с обычной частотой $\nu$ соотношением: $ \omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 40 = 80\pi \text{ рад/с} $

Период колебаний $T$ равен: $ T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{40 \text{ Гц}} = 0,025 \text{ с} $

Таким образом, зависимость смещения средней точки струны от времени описывается уравнением: $ x(t) = 3 \cos(80\pi t) $, где $x$ выражено в миллиметрах, а $t$ — в секундах.

Для построения графика зависимости $x(t)$ выполним следующие шаги:

1. Нарисуем оси координат: горизонтальная ось — время $t$ в секундах (с), вертикальная ось — смещение $x$ в миллиметрах (мм).

2. На вертикальной оси отметим амплитудные значения +3 мм и -3 мм. График будет осциллировать между этими значениями.

3. На горизонтальной оси отметим ключевые точки времени для одного периода ($T = 0,025$ с): $t=0$, $t=T/4=0,00625$ с, $t=T/2=0,0125$ с, $t=3T/4=0,01875$ с, $t=T=0,025$ с.

4. Построим график в соответствии с уравнением $x(t) = 3 \cos(80\pi t)$:

- При $t = 0$: $x = 3 \cos(0) = 3$ мм.

- При $t = 0,00625$ с: $x = 3 \cos(\pi/2) = 0$ мм.

- При $t = 0,0125$ с: $x = 3 \cos(\pi) = -3$ мм.

- При $t = 0,01875$ с: $x = 3 \cos(3\pi/2) = 0$ мм.

- При $t = 0,025$ с: $x = 3 \cos(2\pi) = 3$ мм.

5. Соединим полученные точки плавной кривой, которая будет являться косинусоидой.

Ответ: График зависимости $x(t)$ — это косинусоида с амплитудой $A=3$ мм и периодом $T=0,025$ с. График начинается в точке с максимальным смещением (0 с; 3 мм), проходит через положение равновесия в момент $t=0,00625$ с, достигает максимального отрицательного смещения в точке (0,0125 с; -3 мм) и возвращается в исходное положение за один период, равный 0,025 с. Уравнение движения: $x(t) = 3 \cos(80\pi t)$, где $x$ в мм, $t$ в с.