Номер 44, страница 337 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 44, страница 337.

44. Струна арфы совершает гармонические колебания с частотой 40 Гц. Постройте график зависимости х(t) для средней точки струны, амплитуда колебаний которой равна 3 мм.

Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны; для средних точек других струн арфы? Почему?

Дано:

Частота гармонических колебаний, $ν = 40$ Гц

Амплитуда колебаний средней точки струны, $A = 3$ мм

Перевод в систему СИ:

$A = 3 \text{ мм} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.003 \text{ м}$

Найти:

1. Построить график зависимости $x(t)$ для средней точки струны.

2. Ответить на вопрос: годится ли построенный график для других точек той же струны и для средних точек других струн арфы.

Решение:

Гармонические колебания описываются уравнением вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$. Для простоты примем начальную фазу $\phi_0 = 0$ и будем использовать функцию синуса, что соответствует началу колебаний из положения равновесия ($x=0$ при $t=0$). Тогда уравнение движения имеет вид: $x(t) = A \sin(\omega t)$.

Найдем параметры колебаний:

1. Период колебаний $T$ связан с частотой $ν$ соотношением: $T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{40 \text{ Гц}} = 0.025 \text{ с}$

2. Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с обычной частотой $ν$ формулой: $\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 40 \text{ Гц} = 80\pi \text{ рад/с}$

Подставив значения амплитуды $A$ и циклической частоты $\omega$ в уравнение движения, получим уравнение зависимости смещения от времени $x(t)$ для средней точки струны (если измерять смещение в миллиметрах): $x(t) = 3 \sin(80\pi t)$

Для построения графика $x(t)$ необходимо нарисовать синусоиду.

• По оси ординат (вертикальной) откладывается смещение $x$ в миллиметрах. Максимальное значение +3 мм, минимальное -3 мм.
• По оси абсцисс (горизонтальной) откладывается время $t$ в секундах.
• График представляет собой синусоиду, начинающуюся в точке (0; 0).
• Период графика $T = 0.025$ с. Это означает, что один полный цикл колебаний завершается за 0.025 секунды.
• Ключевые точки одного периода:
  • $t=0$ с, $x=0$ мм
  • $t=T/4 = 0.00625$ с, $x=3$ мм (максимальное отклонение)
  • $t=T/2 = 0.0125$ с, $x=0$ мм
  • $t=3T/4 = 0.01875$ с, $x=-3$ мм (максимальное отклонение в другую сторону)
  • $t=T = 0.025$ с, $x=0$ мм

Ответ: График зависимости $x(t)$ представляет собой синусоиду с амплитудой 3 мм и периодом 0.025 с, описываемую уравнением $x(t) = 3 \sin(80\pi t)$, где $x$ в мм, $t$ в с.

Годится ли построенный вами график для других точек той же самой струны?

Нет, не годится. Все точки одной и той же колеблющейся струны (кроме неподвижных концов-узлов) совершают колебания с одинаковой частотой $ν$ и, следовательно, с одинаковым периодом $T$. Однако амплитуда $A$ колебаний зависит от положения точки на струне. Максимальная амплитуда наблюдается в середине струны (в пучности стоячей волны), а по мере приближения к закрепленным концам струны (узлам) амплитуда уменьшается до нуля. Таким образом, для других точек струны график будет иметь тот же период, но меньшую амплитуду.

Ответ: Нет, так как у других точек этой струны будет другая (меньшая) амплитуда колебаний.

Годится ли построенный вами график для средних точек других струн арфы?

Нет, не годится. Арфа — многострунный инструмент, и каждая ее струна настроена на определенную ноту, то есть имеет свою собственную частоту колебаний. Частота колебаний струны зависит от ее длины, силы натяжения и линейной плотности. Поскольку разные струны издают разные по высоте звуки, их частоты колебаний $ν$ различны. Следовательно, будут отличаться и периоды колебаний $T=1/ν$, и циклические частоты $\omega=2\pi\nu$. Амплитуда колебаний $A$ также может быть другой. Поэтому график для средней точки другой струны будет иметь, как правило, и другую амплитуду, и другой период.

Ответ: Нет, так как другие струны арфы имеют другие частоты (и периоды) колебаний.