Номер 42, страница 337 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Задачи для повторения - номер 42, страница 337.

42. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 30 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной? За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии принять поверхность Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Начальная высота $H = 30$ м

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

Соотношение энергий: $E_k = \frac{1}{2} E_p$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с² (для расчетов его можно сократить)

Найти:

Высоту $h$

Решение:

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии, так как по условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь. Полная механическая энергия тела $E$ является суммой его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p$.

В начальный момент времени, когда тело находится на высоте $H=30$ м, его скорость равна нулю ($v_0 = 0$). Следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$. Начальная потенциальная энергия $E_{p0} = m g H$, где $m$ — масса тела.

Полная механическая энергия в начальный момент времени: $E_0 = E_{k0} + E_{p0} = 0 + m g H = m g H$.

В некоторый момент падения на искомой высоте $h$ тело будет обладать скоростью $v$, и его кинетическая энергия будет равна $E_k = \frac{m v^2}{2}$, а потенциальная энергия $E_p = m g h$.

Полная механическая энергия тела на высоте $h$ составляет: $E = E_k + E_p$.

По условию задачи, в этот момент кинетическая энергия вдвое меньше потенциальной: $E_k = \frac{1}{2} E_p$.

Подставим это соотношение в формулу для полной энергии на высоте $h$: $E = \frac{1}{2} E_p + E_p = \frac{3}{2} E_p$.

Заменив $E_p$ на $m g h$, получим: $E = \frac{3}{2} m g h$.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается постоянной, то есть $E_0 = E$: $m g H = \frac{3}{2} m g h$.

Сократим обе части уравнения на $m g$: $H = \frac{3}{2} h$.

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$: $h = \frac{2}{3} H$.

Подставим числовое значение начальной высоты $H$: $h = \frac{2}{3} \cdot 30 \text{ м} = 2 \cdot 10 \text{ м} = 20 \text{ м}$.

Ответ: на высоте 20 м кинетическая энергия тела будет вдвое меньше потенциальной.