Номер 2, страница 25 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 4. Скорость тела при неравномерном движении. Задание 4 - номер 2, страница 25.

Условие.

2. Чему равна средняя скорость движения поезда на перегоне между двумя станциями, если первую половину расстояния между станциями он прошёл со средней скоростью 50 км/ч, а вторую — со средней скоростью 70 км/ч?

Решение.

Дано:

Скорость на первой половине пути: $v_1 = 50$ км/ч
Скорость на второй половине пути: $v_2 = 70$ км/ч
Протяжённость первого и второго участков пути одинакова: $S_1 = S_2$
Перевод в систему СИ:
$v_1 = 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{125}{9} \text{ м/с} \approx 13,89 \text{ м/с}$
$v_2 = 70 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 70 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{175}{9} \text{ м/с} \approx 19,44 \text{ м/с}$

Найти:

Среднюю скорость движения поезда $v_{ср}$.

Решение:

Средняя скорость движения определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.
Пусть всё расстояние между станциями равно $\text{S}$. Согласно условию, поезд прошёл две равные половины пути, то есть $S_1 = \frac{S}{2}$ и $S_2 = \frac{S}{2}$.
Время, за которое поезд прошёл первую половину пути, равно: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.
Время, за которое поезд прошёл вторую половину пути, равно: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.
Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времён на каждом участке: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}$.
Общий путь $S_{общ}$ равен $\text{S}$.
Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}}$.
Вынесем $\text{S}$ в знаменателе за скобки и сократим дробь на $\text{S}$: $v_{ср} = \frac{S}{S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}}$.
Приведём дроби в знаменателе к общему знаменателю: $v_{ср} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$.
Полученная формула является средним гармоническим для двух скоростей. Подставим в неё числовые значения скоростей из условия задачи: $v_{ср} = \frac{2 \cdot 50 \text{ км/ч} \cdot 70 \text{ км/ч}}{50 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч}} = \frac{7000}{120} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{700}{12} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{175}{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.
Преобразуем полученную дробь в десятичную: $v_{ср} = \frac{175}{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}} \approx 58,33 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.
Ответ: средняя скорость движения поезда на перегоне равна $\frac{175}{3}$ км/ч, что приблизительно составляет 58,33 км/ч.