Номер 4, страница 25 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 4. Скорость тела при неравномерном движении. Задание 4 - номер 4, страница 25.

Условие.

4. Можно ли считать среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на отдельных участках пути?

Решение.

Нет, в общем случае считать среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на отдельных участках пути нельзя. Это можно делать только в одном частном случае.

По определению, средняя путевая скорость $v_{ср}$ — это отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему времени движения $t_{общ}$:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть тело прошло $\text{n}$ участков пути. Путь, время и скорость на $\text{i}$-ом участке равны $S_i$, $t_i$ и $v_i$ соответственно. Тогда весь путь $S_{общ} = S_1 + S_2 + ... + S_n$, а всё время $t_{общ} = t_1 + t_2 + ... + t_n$.Поскольку $S_i = v_i \cdot t_i$, формула для средней скорости принимает вид:

$v_{ср} = \frac{S_1 + S_2 + ... + S_n}{t_1 + t_2 + ... + t_n} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2 + ... + v_n t_n}{t_1 + t_2 + ... + t_n}$

Среднее арифметическое скоростей на этих участках вычисляется по формуле:

$\frac{v_1 + v_2 + ... + v_n}{n}$

Как видно из формул, в общем случае эти величины не равны.

Когда средняя скорость равна среднему арифметическому?

Равенство достигается только в том случае, если время движения на всех участках одинаково. Пусть $t_1 = t_2 = ... = t_n = t$. Тогда:

$v_{ср} = \frac{v_1 t + v_2 t + ... + v_n t}{t + t + ... + t} = \frac{t(v_1 + v_2 + ... + v_n)}{n \cdot t} = \frac{v_1 + v_2 + ... + v_n}{n}$

То есть, если тело движется с разными скоростями в течение равных промежутков времени, то его средняя скорость равна среднему арифметическому этих скоростей.

Пример, когда равенство не выполняется:

Рассмотрим случай, когда тело проходит равные участки пути с разными скоростями. Например, автомобиль проехал первую половину пути ($\text{S}$) со скоростью $v_1 = 50$ км/ч, а вторую половину пути (тоже $\text{S}$) со скоростью $v_2 = 100$ км/ч.

Время на первом участке: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{50}$.

Время на втором участке: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{100}$.

Весь путь: $S_{общ} = S + S = 2S$.

Всё время: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{50} + \frac{S}{100} = \frac{2S + S}{100} = \frac{3S}{100}$.

Средняя скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{3S/100} = \frac{2 \cdot 100}{3} \approx 66.7$ км/ч.

При этом среднее арифметическое скоростей равно:

$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{50 + 100}{2} = 75$ км/ч.

Как видим, $66.7 \neq 75$. В данном случае средняя скорость вычисляется как среднее гармоническое.

Ответ: Считать среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на отдельных участках пути можно только в том случае, если время движения на каждом из этих участков одинаково. В общем случае так делать нельзя.