Номер 5, страница 47 - гдз по физике 9 класс учебник Шахмаев, Бунчук

Глава 3. Прямолинейное неравномерное движение. Параграф 10. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 5, страница 47.

Условие.

*5. Докажите, что при равноускоренном движении проекция средней скорости тела всегда равна полусумме проекций его начальной и конечной скоростей: $v_{cp_x} = \frac{v_{0x} + v_x}{2}$

Решение.

*5.

Дано:

Равноускоренное движение тела, то есть движение с постоянной проекцией ускорения $a_x = \text{const}$.

Доказать:

Проекция средней скорости $v_{ср_x}$ равна полусумме проекций начальной $v_{0x}$ и конечной $v_x$ скоростей: $v_{ср_x} = \frac{v_{0x} + v_x}{2}$.

Решение:

По определению, проекция средней скорости $v_{ср_x}$ на ось Ox равна отношению проекции перемещения $\Delta x$ к промежутку времени $\text{t}$, за который это перемещение произошло:

$v_{ср_x} = \frac{\Delta x}{t}$

Для равноускоренного движения проекция перемещения тела на ось Ox определяется формулой:

$\Delta x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

где $v_{0x}$ – проекция начальной скорости, а $a_x$ – проекция ускорения.

Подставим выражение для перемещения в формулу средней скорости:

$v_{ср_x} = \frac{v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}}{t} = v_{0x} + \frac{a_x t}{2}$

Проекция конечной (мгновенной) скорости $v_x$ в момент времени $\text{t}$ при равноускоренном движении связана с начальной скоростью и ускорением следующим соотношением:

$v_x = v_{0x} + a_x t$

Из этой формулы выразим произведение $a_x t$:

$a_x t = v_x - v_{0x}$

Теперь подставим полученное выражение в формулу для средней скорости:

$v_{ср_x} = v_{0x} + \frac{v_x - v_{0x}}{2}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$v_{ср_x} = \frac{2v_{0x}}{2} + \frac{v_x - v_{0x}}{2} = \frac{2v_{0x} + v_x - v_{0x}}{2} = \frac{v_{0x} + v_x}{2}$

Таким образом, мы доказали, что при равноускоренном движении проекция средней скорости тела действительно равна полусумме проекций его начальной и конечной скоростей.

Ответ: Формула $v_{ср_x} = \frac{v_{0x} + v_x}{2}$ доказана.