Номер 1, страница 18 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

1. Катер прошел по озеру 2 км в северо-восточном, а затем еще 1 км в северном направлении. Определите модуль и направление перемещения с помощью географического построения.

1. Дано:

Первое перемещение катера: $S_1 = 2$ км
Направление первого перемещения: северо-восточное (СВ)
Второе перемещение катера: $S_2 = 1$ км
Направление второго перемещения: северное (С)

Перевод в СИ:
Все величины расстояний даны в километрах. Так как это однородные единицы, для удобства вычислений можно оставить их в километрах, а итоговый результат также будет в километрах.
$S_1 = 2 \text{ км}$
$S_2 = 1 \text{ км}$

Найти:

Модуль результирующего перемещения $|S|$ и его направление.

Решение:

Задача требует найти результирующее перемещение с помощью географического построения. Это означает, что нужно сложить векторы перемещений.

Географическое построение:

1. Выберем начало отсчета (точку старта) и систему координат, в которой ось OY направлена на север, а ось OX – на восток.
2. Выберем масштаб, например, 1 см на чертеже соответствует 1 км в реальности.
3. Из начала отсчета откладываем первый вектор перемещения $\vec{S_1}$. Его длина в выбранном масштабе составит 2 см. Северо-восточное направление означает, что вектор направлен под углом $45^\circ$ к оси OX (восток) и к оси OY (север).
4. Из конца первого вектора $\vec{S_1}$ откладываем второй вектор перемещения $\vec{S_2}$. Его длина составит 1 см, и он будет направлен параллельно оси OY (строго на север).
5. Результирующий вектор перемещения $\vec{S}$ соединяет начальную точку (начало вектора $\vec{S_1}$) с конечной точкой (конец вектора $\vec{S_2}$).
6. Измерив длину вектора $\vec{S}$ линейкой и умножив на масштаб, мы получим модуль перемещения. Измерив транспортиром угол, который вектор $\vec{S}$ составляет с направлением на север или восток, мы найдем его направление.

Аналитический расчет (для точности):

Для точного нахождения модуля и направления используем метод сложения векторов в координатах. Пусть ось OY направлена на север, а ось OX – на восток.

Найдем компоненты каждого вектора перемещения.

Вектор $\vec{S_1}$ имеет модуль $S_1 = 2$ км и направлен на северо-восток, то есть под углом $\alpha_1 = 45^\circ$ к оси OX (восток).
Его компоненты:
$S_{1x} = S_1 \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ км.
$S_{1y} = S_1 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ км.
Таким образом, $\vec{S_1} = (\sqrt{2}; \sqrt{2})$.

Вектор $\vec{S_2}$ имеет модуль $S_2 = 1$ км и направлен на север, то есть вдоль оси OY. Угол с осью OX составляет $\alpha_2 = 90^\circ$.
Его компоненты:
$S_{2x} = S_2 \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$ км.
$S_{2y} = S_2 \cdot \sin(90^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$ км.
Таким образом, $\vec{S_2} = (0; 1)$.

Результирующий вектор перемещения $\vec{S}$ равен сумме векторов $\vec{S_1}$ и $\vec{S_2}$:
$\vec{S} = \vec{S_1} + \vec{S_2} = (S_{1x} + S_{2x}; S_{1y} + S_{2y})$
$\vec{S} = (\sqrt{2} + 0; \sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2}; \sqrt{2} + 1)$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{S}$ по теореме Пифагора:
$|S| = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + 1)^2}$
$|S| = \sqrt{2 + (2 + 2\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}}$
Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем:
$|S| \approx \sqrt{5 + 2 \cdot 1.414} = \sqrt{5 + 2.828} = \sqrt{7.828} \approx 2.798$ км.
Округлим до десятых: $|S| \approx 2.8$ км.

Найдем направление вектора $\vec{S}$. Определим угол $\beta$, который вектор составляет с направлением на север (осью OY).
$\text{tg}(\beta) = \frac{S_x}{S_y} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{2} - 1)$:
$\text{tg}(\beta) = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 - \sqrt{2}$
$\text{tg}(\beta) \approx 2 - 1.414 = 0.586$
$\beta = \text{arctg}(0.586) \approx 30.4^\circ$
Этот угол отсчитывается от северного направления в сторону востока.

Ответ: Модуль перемещения катера составляет $|S| = \sqrt{5 + 2\sqrt{2}} \approx 2.8$ км. Направление перемещения – под углом примерно $30.4^\circ$ к востоку от северного направления (азимут $30.4^\circ$).