Номер 1, страница 18 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

1. Группа туристов прошла сначала 400 м на северо-запад, затем 500 м на восток и еще 300 м на север. Определите геометрическим построением модуль и направление перемещения группы.

Дано:

$s_1 = 400$ м (направление: северо-запад)
$s_2 = 500$ м (направление: восток)
$s_3 = 300$ м (направление: север)

Все данные представлены в единицах Международной системы (СИ).

Найти:

Модуль полного перемещения $s$ и его направление.

Решение:

Полное перемещение группы $\vec{s}$ равно векторной сумме трех последовательных перемещений: $\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3}$. Задача требует определить модуль и направление этого вектора с помощью геометрического построения. Для точности мы также проведем аналитический расчет.

1. Геометрическое построение

Для графического сложения векторов перемещения используется правило многоугольника.

1. Выбираем удобный масштаб, например, 1 см на чертеже соответствует 100 м на местности.

2. Из начальной точки O откладываем первый вектор $\vec{s_1}$. Его длина в выбранном масштабе составит 4 см. Направление "северо-запад" означает, что вектор составляет угол 45° с направлением на север в сторону запада (или 135° с направлением на восток).

3. Из конечной точки вектора $\vec{s_1}$ откладываем второй вектор $\vec{s_2}$ длиной 5 см, направленный строго на восток.

4. Из конечной точки вектора $\vec{s_2}$ откладываем третий вектор $\vec{s_3}$ длиной 3 см, направленный строго на север.

5. Вектор полного перемещения $\vec{s}$ соединяет начальную точку O с конечной точкой вектора $\vec{s_3}$.

6. Измерив длину полученного вектора $\vec{s}$ линейкой и умножив на масштаб, получим модуль перемещения. Измерив транспортиром угол между вектором $\vec{s}$ и направлением на север (или восток), найдем его направление.

2. Аналитический расчет

Для точного вычисления введем прямоугольную систему координат: ось OY направим на север, ось OX — на восток. Найдем проекции каждого вектора на эти оси.

Проекции вектора $\vec{s_1}$ (400 м на северо-запад, угол с осью OX равен $135^\circ$):
$s_{1x} = s_1 \cdot \cos(135^\circ) = 400 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -200\sqrt{2}$ м
$s_{1y} = s_1 \cdot \sin(135^\circ) = 400 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 200\sqrt{2}$ м

Проекции вектора $\vec{s_2}$ (500 м на восток):
$s_{2x} = 500$ м
$s_{2y} = 0$ м

Проекции вектора $\vec{s_3}$ (300 м на север):
$s_{3x} = 0$ м
$s_{3y} = 300$ м

Проекции результирующего вектора $\vec{s}$ равны сумме проекций составляющих векторов:
$s_x = s_{1x} + s_{2x} + s_{3x} = -200\sqrt{2} + 500 + 0 = 500 - 200\sqrt{2}$ м
$s_y = s_{1y} + s_{2y} + s_{3y} = 200\sqrt{2} + 0 + 300 = 300 + 200\sqrt{2}$ м

Вычислим приближенные значения проекций, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:
$s_x \approx 500 - 200 \cdot 1.414 = 500 - 282.8 = 217.2$ м
$s_y \approx 300 + 200 \cdot 1.414 = 300 + 282.8 = 582.8$ м

Модуль (длину) вектора полного перемещения найдем по теореме Пифагора:
$s = |\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} \approx \sqrt{(217.2)^2 + (582.8)^2} = \sqrt{47175.84 + 339655.84} = \sqrt{386831.68} \approx 621.96$ м

Округлим значение модуля: $s \approx 622$ м.

Направление перемещения определим по углу $\alpha$, который вектор $\vec{s}$ образует с направлением на север (осью OY). Так как обе проекции $s_x$ и $s_y$ положительны, вектор направлен в северо-восточном направлении.
$\text{tg}(\alpha) = \frac{|s_x|}{|s_y|} \approx \frac{217.2}{582.8} \approx 0.3727$
$\alpha = \text{arctg}(0.3727) \approx 20.4^\circ$

Следовательно, результирующее перемещение направлено на северо-восток под углом примерно $20.4^\circ$ к меридиану (направлению на север).

Ответ: модуль перемещения группы составляет примерно 622 м, направление — на северо-восток, под углом $20.4^\circ$ к направлению на север.