Задание 1, страница 19 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Определите среднюю скорость тела на всем пути и для первых двух участков (рис. 21).

2. Докажите, что площадь фигуры под графиком зависимости скорости от времени равна всему пройденному пути.

Рис. 21. График зависимости скорости от времени неравномерного движения

1. Определите среднюю скорость тела на всем пути и для первых двух участков (рис. 21).

Дано:

Из графика зависимости скорости от времени (рис. 21):
Участок 1: $v_1 = 5$ м/с, $\Delta t_1 = 10 - 0 = 10$ с
Участок 2: $v_2 = 15$ м/с, $\Delta t_2 = 20 - 10 = 10$ с
Участок 3: $v_3 = 5$ м/с, $\Delta t_3 = 30 - 20 = 10$ с
Участок 4: $v_4 = 10$ м/с, $\Delta t_4 = 40 - 30 = 10$ с
Участок 5: $v_5 = 5$ м/с, $\Delta t_5 = 50 - 40 = 10$ с
Участок 6: $v_6 = 10$ м/с, $\Delta t_6 = 60 - 50 = 10$ с
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{ср. вс}$ — среднюю скорость на всем пути.
$v_{ср. 1-2}$ — среднюю скорость на первых двух участках.

Решение:

Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Сначала найдем среднюю скорость на всем пути. Для этого вычислим общий путь $S_{общ}$ и общее время $t_{общ}$.

Общее время движения по графику: $t_{общ} = 60$ с.

Путь на каждом участке равен произведению скорости на время движения на этом участке: $S_i = v_i \cdot \Delta t_i$.

$S_1 = v_1 \cdot \Delta t_1 = 5 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 50$ м
$S_2 = v_2 \cdot \Delta t_2 = 15 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 150$ м
$S_3 = v_3 \cdot \Delta t_3 = 5 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 50$ м
$S_4 = v_4 \cdot \Delta t_4 = 10 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 100$ м
$S_5 = v_5 \cdot \Delta t_5 = 5 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 50$ м
$S_6 = v_6 \cdot \Delta t_6 = 10 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 100$ м

Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 = 50 + 150 + 50 + 100 + 50 + 100 = 500$ м.

Средняя скорость на всем пути: $v_{ср. вс} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{500 \text{ м}}{60 \text{ с}} = \frac{25}{3} \text{ м/с} \approx 8,33$ м/с.

Теперь найдем среднюю скорость для первых двух участков.

Путь, пройденный за первые два участка: $S_{1-2} = S_1 + S_2 = 50 \text{ м} + 150 \text{ м} = 200$ м.

Время движения на первых двух участках: $t_{1-2} = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 10 \text{ с} + 10 \text{ с} = 20$ с.

Средняя скорость на первых двух участках: $v_{ср. 1-2} = \frac{S_{1-2}}{t_{1-2}} = \frac{200 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 10$ м/с.

Ответ: средняя скорость на всем пути составляет $\frac{25}{3}$ м/с (приблизительно 8,33 м/с), а на первых двух участках — 10 м/с.

2. Докажите, что площадь фигуры под графиком зависимости скорости от времени равна всему пройденному пути.

Решение:

Пройденный путь $S$ при движении с постоянной скоростью $v$ в течение времени $t$ вычисляется по формуле:

$S = v \cdot t$

На графике зависимости скорости от времени $v(t)$ этому случаю соответствует прямоугольник с высотой, равной скорости $v$, и шириной, равной времени $t$. Площадь этого прямоугольника $A$ также равна $A = v \cdot t$. Таким образом, для равномерного движения пройденный путь численно равен площади фигуры под графиком скорости.

Неравномерное движение, представленное на графике, можно разбить на несколько участков, на каждом из которых скорость постоянна. Общий пройденный путь будет равен сумме путей, пройденных на каждом из этих участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = v_1 \Delta t_1 + v_2 \Delta t_2 + \dots + v_n \Delta t_n$

Каждое слагаемое $v_i \Delta t_i$ в этой сумме представляет собой путь, пройденный на $i$-м участке, и в то же время является площадью прямоугольника под графиком скорости на этом участке ($A_i = v_i \Delta t_i$). Следовательно, общий путь $S_{общ}$ равен сумме площадей всех прямоугольников, то есть общей площади фигуры под графиком.

В общем случае для произвольного неравномерного движения, где скорость $v(t)$ меняется непрерывно, мы можем разбить весь интервал времени на очень малые промежутки $\Delta t$. В течение каждого такого малого промежутка скорость можно считать практически постоянной. Тогда элементарный путь $\Delta S$, пройденный за время $\Delta t$, будет равен $\Delta S \approx v(t) \cdot \Delta t$. Это произведение численно равно площади узкого прямоугольника высотой $v(t)$ и основанием $\Delta t$.

Весь пройденный путь является суммой таких элементарных путей. В пределе, когда $\Delta t \to 0$, эта сумма становится интегралом:

$S = \int_{t_{начал}}^{t_{конеч}} v(t) dt$

Геометрический смысл определенного интеграла — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $v(t)$, осью времени и вертикальными прямыми $t=t_{начал}$ и $t=t_{конеч}$.

Таким образом, доказано, что пройденный телом путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени.

Проверим это на данных из задачи. Как было рассчитано в пункте 1, общий путь $S_{общ} = 500$ м. Площадь под графиком — это сумма площадей шести прямоугольников: $A_{общ} = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 = (5 \cdot 10) + (15 \cdot 10) + (5 \cdot 10) + (10 \cdot 10) + (5 \cdot 10) + (10 \cdot 10) = 50 + 150 + 50 + 100 + 50 + 100 = 500$ ед. площади. Значение площади (500) численно совпадает со значением пройденного пути (500 м), что и требовалось доказать.

Ответ: Пройденный путь $S$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ определяется как $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. По определению, определенный интеграл численно равен площади фигуры под графиком функции $v(t)$ на данном промежутке времени. Для движения с постоянной скоростью на отдельных участках, как в задаче, путь равен сумме произведений $v_i \cdot \Delta t_i$, что соответствует сумме площадей прямоугольников под графиком.