Номер 6, страница 17 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

6. Как разложить вектор на составляющие?

Решение

Разложить вектор на составляющие (или компоненты) — это значит представить его в виде суммы других векторов. Чаще всего разложение производят по осям прямоугольной (декартовой) системы координат. В этом случае составляющие вектора называются его проекциями на координатные оси.

Разложение вектора на плоскости (в двумерном пространстве)

Рассмотрим вектор $\vec{a}$ в двумерной системе координат Oxy. Чтобы разложить его на составляющие, нужно найти его проекции на оси Ox и Oy.

1. Совместим начало вектора $\vec{a}$ с началом координат.

2. Из конца вектора опустим перпендикуляры на оси Ox и Oy. Точки пересечения перпендикуляров с осями определят концы векторов-составляющих $\vec{a}_x$ и $\vec{a}_y$. Исходный вектор будет их суммой: $\vec{a} = \vec{a}_x + \vec{a}_y$.

3. Проекции вектора (скалярные величины) $a_x$ и $a_y$ можно найти с помощью тригонометрии, если известен модуль (длина) вектора $|\vec{a}| = a$ и угол $\alpha$, который вектор образует с положительным направлением оси Ox.

Проекция на ось Ox: $a_x = a \cdot \cos(\alpha)$

Проекция на ось Oy: $a_y = a \cdot \sin(\alpha)$

Эти значения $a_x$ и $a_y$ являются координатами вектора. Вектор можно записать в виде $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$.

Используя единичные векторы (орты) $\vec{i}$ и $\vec{j}$, направленные вдоль осей Ox и Oy соответственно, разложение вектора записывается как:

$\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j}$

Разложение вектора в пространстве (в трехмерном пространстве)

Аналогично поступают и в трехмерном пространстве с системой координат Oxyz. Вектор $\vec{a}$ раскладывается на три составляющие вдоль осей Ox, Oy и Oz.

$\vec{a} = \vec{a}_x + \vec{a}_y + \vec{a}_z$

Проекции находятся, если известен модуль вектора $a$ и углы $\alpha, \beta, \gamma$, которые вектор образует с положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

Проекция на ось Ox: $a_x = a \cdot \cos(\alpha)$

Проекция на ось Oy: $a_y = a \cdot \cos(\beta)$

Проекция на ось Oz: $a_z = a \cdot \cos(\gamma)$

Координаты вектора в пространстве: $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$.

Разложение по единичным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ имеет вид:

$\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$

Разложение по координатам начала и конца вектора

Если вектор задан координатами своей начальной точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точки $B(x_2, y_2, z_2)$, то его проекции (координаты) находятся как разность соответствующих координат конца и начала.

$a_x = x_2 - x_1$

$a_y = y_2 - y_1$

$a_z = z_2 - z_1$

Тогда вектор $\vec{AB}$ можно записать как $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.

Ответ: Чтобы разложить вектор на составляющие, необходимо найти его проекции на оси выбранной системы координат. Проекции вектора — это скалярные величины, которые можно вычислить: 1) с помощью тригонометрических функций, зная модуль вектора и углы его наклона к осям; 2) путем вычитания координат начала вектора из координат его конца. После нахождения проекций (например, $a_x$ и $a_y$ на плоскости) вектор представляется в виде набора координат $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ или в виде суммы векторов, коллинеарных осям: $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j}$.