Задание 6, страница 22 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 6

Докажите, что площадь фигуры под графиком зависимости скорости от времени движения при равномерном и равнопеременном движении численно равна перемещению (рис. 26).

Рис. 26. К заданию 5

Решение

Для доказательства утверждения рассмотрим два случая, упомянутых в задании: равномерное и равнопеременное движение. Мы покажем, что в обоих случаях площадь под графиком скорости численно совпадает с перемещением.

1. Равномерное прямолинейное движение

При равномерном движении скорость тела постоянна ($v_x = const$). График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ представляет собой прямую линию, параллельную оси времени $t$.

Перемещение тела (а точнее, его проекция на ось Ox) $s_x$ за промежуток времени $t$ вычисляется по формуле:

$s_x = v_x \cdot t$

Фигура под графиком скорости для интервала времени от $0$ до $t$ является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника (высота) равна значению скорости $v_x$, а другая сторона (основание) — промежутку времени $t$.

Площадь этого прямоугольника $S$ равна произведению его сторон:

$S = v_x \cdot t$

Сравнивая формулу для перемещения и формулу для площади, мы видим, что их правые части равны. Следовательно, $s_x = S$. Таким образом, для равномерного движения перемещение численно равно площади под графиком скорости.

2. Равнопеременное прямолинейное движение

При равнопеременном движении ускорение тела постоянно ($a_x = const$), а скорость изменяется со временем по линейному закону:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

где $v_{0x}$ — начальная скорость (в момент времени $t=0$). График зависимости $v_x(t)$ представляет собой наклонную прямую линию.

Фигура под графиком скорости для интервала времени от $0$ до $t$ представляет собой трапецию. Основаниями этой трапеции являются значения скорости в начальный и конечный моменты времени, то есть $v_{0x}$ и $v_x = v_{0x} + a_x t$. Высотой трапеции является промежуток времени $t$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

Подставим в эту формулу выражение для конечной скорости $v_x = v_{0x} + a_x t$:

$S = \frac{v_{0x} + (v_{0x} + a_x t)}{2} \cdot t = \frac{2v_{0x} + a_x t}{2} \cdot t = \left(v_{0x} + \frac{a_x t}{2}\right) \cdot t = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

В то же время, формула для проекции перемещения $s_x$ при равнопеременном движении имеет вид:

$s_x = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Сравнивая полученное выражение для площади $S$ с формулой для перемещения $s_x$, мы видим, что они полностью совпадают: $s_x = S$. Таким образом, и для равнопеременного движения перемещение численно равно площади фигуры под графиком скорости.

Важно отметить, что если график скорости находится под осью времени (т.е. $v_x < 0$), то тело движется в отрицательном направлении оси, и площадь такой фигуры принято считать отрицательной, что соответствует отрицательной проекции перемещения.

Ответ:

Доказано, что как для равномерного, так и для равнопеременного движения, площадь фигуры, ограниченной графиком зависимости проекции скорости от времени, осью времени и перпендикулярами к оси времени, проведенными из начальной и конечной точек интервала, численно равна проекции перемещения тела за этот интервал времени. Это утверждение является геометрическим смыслом перемещения на графике $v_x(t)$.