Номер 3, страница 31 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Движения четырех материальных точек заданы следующими уравнениями (соответственно): $x_1 = 10t + 0.4t^2$; $x_2 = 2t - t^2$; $x_3 = -4t + 2t^2$; $x_4 = -t - 6t^2$. Выполните задания:

а) напишите уравнение $v = v(t)$ для каждой точки;

б) постройте графики этих зависимостей;

в) опишите движение каждой точки.

Дано:

Уравнения движения четырех материальных точек:

$x_1(t) = 10t + 0.4t^2$

$x_2(t) = 2t - t^2$

$x_3(t) = -4t + 2t^2$

$x_4(t) = -t - 6t^2$

Все величины представлены в Международной системе единиц (СИ), где координата $x$ измеряется в метрах (м), а время $t$ — в секундах (с).

Найти:

а) Уравнения зависимости скорости от времени $v=v(t)$ для каждой точки;

б) Построить графики этих зависимостей;

в) Описать характер движения каждой точки.

Решение:

Все заданные уравнения движения имеют вид $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$, что соответствует прямолинейному равноускоренному движению. Здесь $x_0$ — начальная координата, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение.

Скорость точки в любой момент времени является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t) = \frac{d(x(t))}{dt} = v_0 + at$.

а) напишите уравнение v = v(t) для каждой точки

Найдем уравнения скорости для каждой точки, взяв производную от соответствующего уравнения движения по времени $t$.

1. Для первой точки: $x_1(t) = 10t + 0.4t^2$

$v_1(t) = x_1'(t) = \frac{d}{dt}(10t + 0.4t^2) = 10 + 2 \cdot 0.4t = 10 + 0.8t$.

2. Для второй точки: $x_2(t) = 2t - t^2$

$v_2(t) = x_2'(t) = \frac{d}{dt}(2t - t^2) = 2 - 2t$.

3. Для третьей точки: $x_3(t) = -4t + 2t^2$

$v_3(t) = x_3'(t) = \frac{d}{dt}(-4t + 2t^2) = -4 + 4t$.

4. Для четвертой точки: $x_4(t) = -t - 6t^2$

$v_4(t) = x_4'(t) = \frac{d}{dt}(-t - 6t^2) = -1 - 12t$.

Ответ: Уравнения скорости для точек:
$v_1(t) = 10 + 0.8t$ (м/с)
$v_2(t) = 2 - 2t$ (м/с)
$v_3(t) = -4 + 4t$ (м/с)
$v_4(t) = -1 - 12t$ (м/с)

б) постройте графики этих зависимостей

Все полученные зависимости $v(t)$ являются линейными функциями времени. Следовательно, их графиками являются прямые линии. Построим эти графики на одной координатной плоскости $v, t$.

Ответ: Графики зависимостей скорости от времени для четырех точек представлены на рисунке выше.

в) опишите движение каждой точки

Для описания характера движения определим начальную скорость $v_0$ и ускорение $a$ для каждой точки, сравнивая их уравнения движения с общей формулой $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$. Для всех четырех точек начальная координата $x_0 = 0$.

1. Точка 1: $x_1(t) = 10t + 0.4t^2$.
Из уравнения следует: $v_{01} = 10$ м/с, $\frac{a_1}{2} = 0.4$, откуда $a_1 = 0.8$ м/с$^2$.
Движение является равноускоренным. Начальная скорость и ускорение имеют одинаковые знаки (оба положительны), значит, они сонаправлены. Тело движется в положительном направлении оси Ох, и его скорость постоянно увеличивается.

Ответ: Точка 1 движется из начала координат равноускоренно с начальной скоростью $v_0 = 10$ м/с и постоянным ускорением $a = 0.8$ м/с$^2$. Скорость точки монотонно возрастает.

2. Точка 2: $x_2(t) = 2t - t^2$.
Из уравнения следует: $v_{02} = 2$ м/с, $\frac{a_2}{2} = -1$, откуда $a_2 = -2$ м/с$^2$.
Движение является равнопеременным. Начальная скорость и ускорение имеют разные знаки, значит, они направлены в противоположные стороны. Точка сначала движется равнозамедленно в положительном направлении, ее скорость уменьшается. В момент времени, когда $v_2(t) = 2 - 2t = 0$, то есть при $t=1$ с, точка останавливается и меняет направление движения. После $t=1$ с она движется равноускоренно в отрицательном направлении.

Ответ: Точка 2 движется из начала координат с начальной скоростью $v_0 = 2$ м/с и ускорением $a = -2$ м/с$^2$. Вначале точка движется равнозамедленно в положительном направлении до остановки в момент $t=1$ с, после чего начинает равноускоренное движение в отрицательном направлении.

3. Точка 3: $x_3(t) = -4t + 2t^2$.
Из уравнения следует: $v_{03} = -4$ м/с, $\frac{a_3}{2} = 2$, откуда $a_3 = 4$ м/с$^2$.
Движение является равнопеременным. Начальная скорость и ускорение направлены в противоположные стороны. Точка сначала движется равнозамедленно в отрицательном направлении. Момент остановки найдем из условия $v_3(t) = -4 + 4t = 0$, откуда $t=1$ с. После $t=1$ с точка начинает равноускоренное движение в положительном направлении.

Ответ: Точка 3 движется из начала координат с начальной скоростью $v_0 = -4$ м/с и ускорением $a = 4$ м/с$^2$. Вначале точка движется равнозамедленно в отрицательном направлении до остановки в момент $t=1$ с, после чего начинает равноускоренное движение в положительном направлении.

4. Точка 4: $x_4(t) = -t - 6t^2$.
Из уравнения следует: $v_{04} = -1$ м/с, $\frac{a_4}{2} = -6$, откуда $a_4 = -12$ м/с$^2$.
Движение является равноускоренным. Начальная скорость и ускорение сонаправлены (оба направлены против оси Ох). Точка движется в отрицательном направлении, и модуль ее скорости постоянно увеличивается.

Ответ: Точка 4 движется из начала координат равноускоренно с начальной скоростью $v_0 = -1$ м/с и постоянным ускорением $a = -12$ м/с$^2$. Скорость точки по модулю монотонно возрастает, движение происходит в отрицательном направлении оси Ох.