Номер 3, страница 31 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Движения двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями $x_1 = 2t + 0.2t^2$ и $x_2 = 80 - 4t$. Опишите картину движения; определите:

а) время и место встречи автомобилей;

б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчета времени;

в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчета.

Сначала опишем картину движения. Уравнение движения первого автомобиля $x_1(t) = 2t + 0.2t^2$ соответствует равноускоренному движению. Сравнивая его с общим видом уравнения $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$, находим, что начальная координата $x_{01} = 0$ м, начальная скорость $v_{01} = 2$ м/с, а ускорение $a_1 = 0.4$ м/с². Таким образом, первый автомобиль начинает движение из начала координат и движется в положительном направлении оси X с постоянным ускорением.

Уравнение движения второго автомобиля $x_2(t) = 80 - 4t$ соответствует равномерному движению. Сравнивая его с общим видом уравнения $x(t) = x_0 + vt$, находим, что начальная координата $x_{02} = 80$ м, а скорость $v_2 = -4$ м/с. Это означает, что второй автомобиль начинает движение из точки с координатой 80 м и движется с постоянной скоростью в отрицательном направлении оси X (навстречу первому автомобилю).

Дано:

$x_1(t) = 2t + 0.2t^2$

$x_2(t) = 80 - 4t$

$t = 5$ с (для пункта б)

Все величины представлены в системе СИ (координаты в метрах, время в секундах).

Найти:

а) $t_{встр}$, $x_{встр}$

б) $\Delta x$ при $t = 5$ с

в) $x_1$ при $x_2 = 0$

Решение:

а) время и место встречи автомобилей

В момент встречи координаты автомобилей равны, то есть $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

$2t + 0.2t^2 = 80 - 4t$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.2t^2 + 2t + 4t - 80 = 0$

$0.2t^2 + 6t - 80 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$t^2 + 30t - 400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 900 + 1600 = 2500$

Найдем корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{-30 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 + 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$ с

$t_2 = \frac{-30 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 - 50}{2} = -40$ с

Так как время не может быть отрицательным, физический смысл имеет только корень $t_{встр} = 10$ с.

Чтобы найти место встречи, подставим найденное время в любое из уравнений движения. Воспользуемся уравнением для второго автомобиля:

$x_{встр} = x_2(10) = 80 - 4 \cdot 10 = 80 - 40 = 40$ м.

Проверим по уравнению первого автомобиля:

$x_{встр} = x_1(10) = 2 \cdot 10 + 0.2 \cdot 10^2 = 20 + 0.2 \cdot 100 = 20 + 20 = 40$ м.

Ответ: автомобили встретятся через 10 секунд после начала движения в точке с координатой 40 м.

б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчета времени

Найдем координаты каждого автомобиля в момент времени $t = 5$ с.

Координата первого автомобиля:

$x_1(5) = 2 \cdot 5 + 0.2 \cdot 5^2 = 10 + 0.2 \cdot 25 = 10 + 5 = 15$ м.

Координата второго автомобиля:

$x_2(5) = 80 - 4 \cdot 5 = 80 - 20 = 60$ м.

Расстояние между автомобилями равно модулю разности их координат:

$\Delta x = |x_2(5) - x_1(5)| = |60 - 15| = 45$ м.

Ответ: через 5 с расстояние между автомобилями будет 45 м.

в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчета

Сначала найдем момент времени $t$, когда второй автомобиль находился в начале отсчета, то есть его координата была равна нулю: $x_2(t) = 0$.

$80 - 4t = 0$

$4t = 80$

$t = \frac{80}{4} = 20$ с.

Теперь найдем координату первого автомобиля в этот момент времени, подставив $t = 20$ с в его уравнение движения:

$x_1(20) = 2 \cdot 20 + 0.2 \cdot 20^2 = 40 + 0.2 \cdot 400 = 40 + 80 = 120$ м.

Ответ: координата первого автомобиля была 120 м.