Задание 3, страница 114 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Докажите:

1) что время подъема тела до верхней точки траектории и время спуска одинаковые;

2) что дальность полета максимальна при значении угла равном $45^{\circ}$;

3) что дальность полета для угла, к горизонту $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ имеет одно и то же значение.

1) что время подъема тела до верхней точки траектории и время спуска одинаковые;

Решение

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Введем систему координат, где ось $Ox$ направлена горизонтально, а ось $Oy$ – вертикально вверх. Начало координат находится в точке броска.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Зависимость проекции скорости на ось $Oy$ от времени имеет вид:

$v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Время подъема $t_{подъема}$ – это время, за которое тело достигает верхней точки траектории. В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, $v_y(t_{подъема}) = 0$.

$v_0 \sin(\alpha) - g t_{подъема} = 0$

Отсюда находим время подъема:

$t_{подъема} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Зависимость координаты $y$ от времени:

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Полное время полета $t_{полета}$ – это время, через которое тело вернется на начальную высоту, то есть $y(t_{полета}) = 0$.

$v_0 \sin(\alpha) t_{полета} - \frac{g t_{полета}^2}{2} = 0$

$t_{полета} (v_0 \sin(\alpha) - \frac{g t_{полета}}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $t=0$ (момент броска) и $t_{полета} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$.

Время спуска $t_{спуска}$ – это разность между полным временем полета и временем подъема:

$t_{спуска} = t_{полета} - t_{подъема} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g} - \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Сравнивая выражения для времени подъема и времени спуска, видим, что они равны:

$t_{подъема} = t_{спуска} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g}$

Ответ: Время подъема тела до верхней точки траектории равно времени его спуска с этой точки до начальной высоты, что и требовалось доказать.

2) что дальность полета максимальна при значении угла равном 45°;

Решение

Дальность полета $L$ – это горизонтальное расстояние, которое пролетает тело за все время полета $t_{полета}$. Движение по горизонтали (ось $Ox$) является равномерным со скоростью $v_x = v_0 \cos(\alpha)$.

$L = v_x \cdot t_{полета}$

Подставим выражения для $v_x$ и $t_{полета}$ (найденное в предыдущем пункте $t_{полета} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$):

$L = (v_0 \cos(\alpha)) \cdot \left(\frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}\right) = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем формулу для дальности полета:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Для нахождения максимальной дальности полета при фиксированной начальной скорости $v_0$ нужно найти, при каком угле $\alpha$ функция $L(\alpha)$ достигает своего максимума. Так как $v_0$ и $g$ являются постоянными величинами, дальность полета $L$ будет максимальной, когда максимальное значение принимает функция $\sin(2\alpha)$.

Максимальное значение синуса равно 1. Следовательно,

$\sin(2\alpha) = 1$

Это равенство выполняется, когда аргумент синуса равен $90°$.

$2\alpha = 90°$

$\alpha = 45°$

Таким образом, дальность полета максимальна при угле бросания, равном $45°$.

Ответ: Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, максимальна при угле $\alpha = 45°$, что и требовалось доказать.

3) что дальность полета для угла, к горизонту 30° и 60° имеет одно и то же значение.

Решение

Воспользуемся формулой для дальности полета, полученной в предыдущем пункте:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Рассчитаем дальность полета для угла $\alpha_1 = 30°$:

$L(30°) = \frac{v_0^2 \sin(2 \cdot 30°)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(60°)}{g}$

Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$L(30°) = \frac{v_0^2 \sqrt{3}}{2g}$

Теперь рассчитаем дальность полета для угла $\alpha_2 = 60°$:

$L(60°) = \frac{v_0^2 \sin(2 \cdot 60°)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(120°)}{g}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180° - x) = \sin(x)$, получаем:

$\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, дальность полета для угла $60°$ равна:

$L(60°) = \frac{v_0^2 \sqrt{3}}{2g}$

Сравнивая полученные выражения для $L(30°)$ и $L(60°)$, мы видим, что они одинаковы.

$L(30°) = L(60°)$

В общем случае, дальность полета одинакова для двух углов $\alpha$ и $90° - \alpha$, так как $\sin(2(90° - \alpha)) = \sin(180° - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$.

Ответ: Дальность полета для углов $30°$ и $60°$ имеет одно и то же значение, что и требовалось доказать.