Задание 5, страница 115 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 5

1. Определите орбитальную скорость спутника Земли на высоте, равной радиусу Земли. Определите высоту полета спутника Земли, орбитальная скорость которого в 2 раза меньше первой космической скорости у поверхности Земли.

1. Дано:

Высота спутника в первой части задачи: $h_1 = R_З$

Скорость спутника во второй части задачи: $v_{orb,2} = \frac{v_1}{2}$

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Первая космическая скорость: $v_1 \approx 7.9 \text{ км/с}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

$v_1 = 7.9 \text{ км/с} = 7.9 \times 10^3 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{orb,1} - ?$

$h_2 - ?$

Решение:

Для спутника, движущегося по круговой орбите, сила гравитационного притяжения Земли является центростремительной силой. Запишем второй закон Ньютона:

$\frac{G M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, а $r = R_З + h$ — радиус орбиты ($h$ — высота над поверхностью Земли).

Из этого соотношения выразим орбитальную скорость:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h}}$

Первая космическая скорость $v_1$ — это орбитальная скорость на высоте $h \approx 0$ (у поверхности Земли), т.е. $r \approx R_З$:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$

Сначала определим орбитальную скорость спутника на высоте, равной радиусу Земли. По условию этой части задачи, $h_1 = R_З$. Тогда радиус орбиты $r_1 = R_З + h_1 = 2R_З$.

Скорость спутника $v_{orb,1}$ будет равна:

$v_{orb,1} = \sqrt{\frac{G M_З}{2R_З}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}}$

Подставим числовое значение $v_1 \approx 7.9 \text{ км/с}$:

$v_{orb,1} = \frac{7.9 \text{ км/с}}{\sqrt{2}} \approx \frac{7.9}{1.414} \text{ км/с} \approx 5.6 \text{ км/с}$

Теперь определим высоту полета спутника $h_2$, орбитальная скорость которого $v_{orb,2}$ в 2 раза меньше первой космической скорости $v_1$.

$v_{orb,2} = \frac{v_1}{2}$

Используем общую формулу для скорости: $v_{orb,2} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_2}}$. Приравняем два выражения для $v_{orb,2}$:

$\frac{v_1}{2} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_2}}$

Подставим в левую часть выражение для $v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$:

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{G M_З}{R_З}} = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h_2}}$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{1}{4}\frac{G M_З}{R_З} = \frac{G M_З}{R_З + h_2}$

Сократим на $G M_З$:

$\frac{1}{4R_З} = \frac{1}{R_З + h_2}$

Отсюда следует, что $4R_З = R_З + h_2$.

Найдем $h_2$:

$h_2 = 4R_З - R_З = 3R_З$

Вычислим числовое значение, используя $R_З \approx 6400 \text{ км}$:

$h_2 = 3 \times 6400 \text{ км} = 19200 \text{ км}$

Ответ: Орбитальная скорость спутника на высоте, равной радиусу Земли, составляет примерно $5.6 \text{ км/с}$. Высота полета спутника, скорость которого в 2 раза меньше первой космической, равна трем радиусам Земли ($19200 \text{ км}$).