Номер 3, страница 6 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 1. Действительные числа. Параграф 1. Целые и рациональные числа - номер 3, страница 6.

Условие.

3 Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:

1) $0.\overline{6}$;

2) $1.\overline{55}$;

3) $0.1\overline{2}$;

4) $-0.\overline{8}$;

5) $-3.\overline{27}$;

6) $-2.3\overline{82}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) 0,(6)

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числитель записать число, стоящее в периоде, а в знаменатель — число, состоящее из девяток, причем количество девяток равно количеству цифр в периоде.

Пусть $x = 0,(6)$. Это чистая периодическая дробь с периодом «6» (одна цифра).
Согласно правилу, получаем:
$x = \frac{6}{9}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{2}{3}$

Алгебраический метод:
Пусть $x = 0,666...$
Умножим на 10: $10x = 6,666...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$10x - x = 6,666... - 0,666...$
$9x = 6$
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2) 1,(55)

Дробь можно представить как сумму целой части и периодической дробной части: $1 + 0,(55)$.
Преобразуем $0,(55)$. Период «55» состоит из двух цифр.

Используя правило:
$0,(55) = \frac{55}{99}$
Сократим дробь на 11:
$\frac{55}{99} = \frac{5}{9}$

Теперь добавим целую часть:
$1 + \frac{5}{9} = 1\frac{5}{9}$
Переведем в неправильную дробь:
$1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

Ответ: $\frac{14}{9}$

3) 0,1(2)

Это смешанная периодическая дробь. Для ее преобразования нужно из числа, стоящего после запятой (включая период), вычесть число, стоящее после запятой до периода, и записать результат в числитель. В знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и дописать столько нулей, сколько цифр после запятой до периода.

В дроби $0,1(2)$ после запятой до периода стоит «1» (одна цифра), в периоде — «2» (одна цифра).
Числитель: $12 - 1 = 11$.
Знаменатель: одна девятка и один ноль, т.е. 90.
Получаем дробь: $\frac{11}{90}$.

Алгебраический метод:
Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$
Умножим на 10, чтобы сделать дробь чисто периодической после запятой: $10x = 1,222...$
Умножим еще на 10: $100x = 12,222...$
Вычтем: $100x - 10x = 12,222... - 1,222...$
$90x = 11$
$x = \frac{11}{90}$

Ответ: $\frac{11}{90}$

4) -0,(8)

Сначала преобразуем положительную дробь $0,(8)$.
Это чистая периодическая дробь с периодом «8».
$0,(8) = \frac{8}{9}$.
Так как исходное число отрицательное, добавляем знак минус.

Ответ: $-\frac{8}{9}$

5) -3,(27)

Рассмотрим положительное число $3,(27)$.
$3,(27) = 3 + 0,(27)$.
Преобразуем $0,(27)$. Период «27» состоит из двух цифр.
$0,(27) = \frac{27}{99}$
Сократим на 9: $\frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.
Сложим с целой частью:
$3 + \frac{3}{11} = 3\frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{36}{11}$.
Добавим знак минус, так как исходное число отрицательное.

Ответ: $-\frac{36}{11}$

6) -2,3(82)

Рассмотрим положительное число $2,3(82) = 2 + 0,3(82)$.
Преобразуем смешанную периодическую дробь $0,3(82)$.
В дроби $0,3(82)$ до периода стоит «3» (одна цифра), в периоде — «82» (две цифры).

Используя правило:
Числитель: $382 - 3 = 379$.
Знаменатель: две девятки и один ноль, т.е. 990.
Получаем: $0,3(82) = \frac{379}{990}$.

Сложим с целой частью:
$2 + \frac{379}{990} = \frac{2 \cdot 990 + 379}{990} = \frac{1980 + 379}{990} = \frac{2359}{990}$.
Добавим знак минус для итогового ответа.

Ответ: $-\frac{2359}{990}$